336 Fano. III 5. La théorie des groupes continus et la géométrie. E. Cartan. 
2°) Les groupes continus, qui peuvent aussi être finis ou infinis, 
suivant que leurs transformations dépendent seulement de paramètres 
arbitraires ou de fonctions arbitraires. 
On appelle, d’après S. Lie, groupe continu fni à r paramètres un 
ensemble de transformations de la forme (1), dépendant de r para 
mètres arbitraires essentiels (complexes), possédant la propriété ca 
ractéristique des groupes, et contenant la transformation identique. 
On a au contraire un groupe infini lorsque ces transformations dé 
pendent d’un nombre infini de paramètres arbitraires (ou lorsqu’elles 
dépendent de fonctions arbitraires). Cette définition est toutefois beau 
coup trop générale pour pouvoir être utilisée dans l’état actuel de 
l’analyse. S. Lie l’a restreinte en réservant le nom de groupe infni au 
groupe formé d’un ensemble de transformations de la forme (1) jouis 
sant de la propriété que les fonctions f soient les solutions les plus 
générales d’un certain système d’équations aux dérivées partielles en 
nombre fini: ce système d’équations aux dérivées partielles constitue 
les équations de définition du groupe 9 ). On peut d’ailleurs faire ren 
trer les groupes continus finis dans la catégorie générale précédente 
en supposant que la solution générale des équations de définition du 
groupe ne dépend que de constantes arbitraires. 
Il existe aussi des groupes qui se composent de plusieurs familles 
de transformations, dont chacune est continue, sans qu’il y ait un 
passage continu d’une famille à l’autre, l’une de ces familles formant 
un groupe continu (fini ou infini). On désigne ces groupes sous le 
nom de groupes mixtes 10 ). 
Quelque diverse que soit la nature des opérations qui composent 
un groupe, il est certaines notions qui se retrouvent toujours et qui 
font pour ainsi dire corps avec celle de groupe; telles sont les notions 
de groupes semblables, de sous-groupe, de sous-groupe invariant. 
Certains théorèmes relatifs à ces notions se retrouvent de même dans 
toutes les catégories de groupes. Mais il est d’autre part évident que 
l’appareil analytique qui sert à raisonner sur ces notions dépend es- 
9) Les principes de la théorie des groupes infinis de S. Lie sont exposés 
Forhandlinger Yidenskabs-Selskabet Christiania 1883, éd. 1884, mém. n° 12; id. 
1889, éd. 1890, mém. n° 7; Ber. Ges. Lpz. 43 (1891), math. p. 316/52, 353/93 
üntersuchungen über unendliche kontinuierliche Gruppen, en partie rédigé par 
F. Engel, Abh. Ges. Lpz. (math.) 21 (1895), p. 41. 
10) Transformationsgruppen 7 ) 1, p. 310/27. On peut citer comme exem 
ples le groupe des déplacements et des retournements; le groupe des substitu 
tions linéaires dont le déterminant est un nombre entier, ou une racine n iime 
de l’unité.