2. Groupes de transformations. Leur classification. 
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sentiellement de la catégorie de groupes dont il s’agit. En particulier 
l’une des notions les plus importantes, comme on le verra plus loin, 
celle de structure (loi de composition des opérations du groupe), se 
présente dans le cas des groupes continus sous une forme analytique 
spéciale. S. Lie a introduit dans cette théorie la notion nouvelle, et 
très importante, de transformation infinitésimale. 11 représente la trans 
formation infinitésimale 
par le symbole 
à x { = |. • d t 
d£ 
SX; 
qui indique que la fonction f des variables x i ,...,x n est changée par 
la transformation infinitésimale dans la fonction f + Xf • ôt. Un groupe 
fini à r paramètres contient r transformations infinitésimales indé 
pendantes 
xj, X 2 f, ..., X r f, 
toute transformation infinitésimale du groupe pouvant, d’une manière 
et d’une seule, être mise sous la forme d’une combinaison linéaire à 
coefficients constants de X x f } ..,, X r f. On obtient les transformations 
finies du groupe (au voisinage de la transformation identique) en ef 
fectuant une infinité de fois de suite une même transformation infinité 
simale. Les crochets 
(X,X t ) s - X k (X t f) 
sont des fonctions linéaires des X t à coefficients constants c m : ce sont 
ces coefficients qui déterminent analytiquement la structure du groupe. 
A tout système de constantes c ikJ satisfaisant à certaines relations al 
gébriques déterminées [Il 23] correspondent une infinité de groupes à 
r paramètres de même structure. 
Les groupes continus infinis peuvent aussi être engendrés par 
des transformations infinitésimales; la première définition qui en a 
été donnée par S. Lie en 1883 - 11 ) faisait même intervenir uniquement 
une propriété de leurs transformations infinitésimales, à savoir que 
les fonctions I,. qui y entrent devaient satisfaire à un certain système 
d’équations aux dérivées partielles linéaires en nombre fini. + 0n n’a 
cependant pas étendu au cas des groupes infinis l’utilisation des trans 
formations infinitésimales pour la détermination analytique de la struc 
ture. Mais il est possible de déduire, par un procédé régulier, des 
équations de définition d’un groupe continu quelconque, fini ou infini, 
11) Forhandlinger Videnskabs-Selskabet Christiania 1883, éd. 1884, mém. 
n° 12. 
Encyclop. des scieno. mathémat. Ill 1. 
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