338 Gr. Fano. Ill 6. La théorie des groupes continus et la géométrie. F. Cartan. 
un système de constantes (identiques aux constantes c ikt dans le cas 
des groupes finis), auxquelles il peut être nécessaire d’adjoindre cer 
taines fonctions dans le cas des groupes infinis, et qui définissent 
analytiquement dans tous les cas la structure du groupe 12 ).* 
3. Point de vue de Klein: la géométrie regardée comme l’étude 
d’un groupe. La théorie des invariants attachés à un groupe. 
F. Klein a montré en 1872 13 ) le rôle important joué en géométrie 
par les groupes de transformations, en particulier par les groupes con 
tinus et les groupes mixtes. Certaines théories géométriques ne cons 
tituent au fond que l’étude d’un certain groupe. 
La géométrie élémentaire en particulier a pour but l’étude des 
propriétés des figures qui sont indépendantes de la position que ces 
figures occupent dans l’espace, de leurs dimensions absolues, et du sens 
dans lequel les différentes parties des figures sont disposées (ce sens 
étant le même pour deux figures superposables, mais non pour deux 
figures symétriques par rapport à un plan). Autrement dit, les propriétés 
en question sont celles qui sont conservées par les déplacements, les 
transformations homothétiques, les symétries et plus généralement toutes 
les transformations qui résultent de la composition des précédentes. 
Ces transformations forment un groupe appelé par F. Klein le groupe 
fondamental. Une propriété qui n’est pas invariante à l’égard des trans 
formations du groupe fondamental n’est pas une propriété géométrique. 
Les propriétés géométriques des figures sont donc caractérisées par leur 
invariance vis-à-vis des transformations du groupe fondamental. La géo 
métrie élémentaire se présente ainsi comme la théorie des invariants 
du groupe fondamental de transformations. 
Il y a plusieurs manières de généraliser les considérations pré 
cédentes. Au lieu de considérer toutes les propriétés géométriques des 
figures, on peut se borner à celles qui sont invariantes vis-à-vis d’un 
groupe plus étendu de transformations; c’est à ce point de vue que 
l’on parvient à la notion des propriétés projectives des figures. Et, 
plus généralement encore, on peut considérer des variétés à un 
nombre quelconque de dimensions et se poser le problème sui 
vant: 
Étant donnée une variété quelconque, et dans cette variété un groupe 
de transformations, étudier les propriétés des figures de cette variété qui 
sont conservées par les transformations du groupe. La géométrie élé 
mentaire apparaît ainsi, à ce point de vue, comme un cas particulier 
12) +E. Cartan, Ann. Éc. Norm. (3) 21 (1904), p. 153; (3) 22 (1905), p. 219.* 
13) Progr. Erlangen 6 ); voir aussi Höhere Geom. 6 ) 2, p. 27 et suiv.