B. Point de vue de Klein: la géométrie regardée comme l’étude d’un groupe. 339 
d’une série de théories géométriques dont chacune est caractérisée par 
un certain groupe qui lui sert de groupe fondamental. 
Au point de vue précédent, toute géométrie est l’étude d’une 
certaine variété à laquelle on a adjoint un certain groupe, le groupe 
fondamental. Analytiquement les transformations de ce groupe seront 
représentées par des équations de la forme (1), où les x sont les 
coordonnées des points qui engendrent la variété. Si l’on change le sys 
tème des coordonnées, les transformations du groupe fondamental pren 
nent en général une autre forme analytique; le groupe primitif est 
remplacé par un groupe semblable, mais sans que cela change en rien 
l’essence de la géométrie considérée. 
*11 peut arriver que, pour deux systèmes de coordonnées différents, 
les équations du groupe aient la même forme: il en est ainsi en par 
ticulier pour les systèmes de coordonnées équivalents. Convenons 
d’appeler équivalentes deux figures qui se déduisent l’une de l’autre 
par une transformation du groupe. Considérons, ce qui est toujours 
possible d’une infinité de manières, une figure (F 0 ) qui ne se repro 
duise que par la transformation identique du groupe fondamental 
(par exemple un tétraèdre en géométrie élémentaire). Toute trans 
formation T du groupe change (jP 0 ) en une figure équivalente (F), 
de telle sorte qu’à chaque figure (A 1 ) correspond une transforma 
tion T et une seule du groupe. Cela posé, si la figure formé de (F) 
et d’un point M est équivalente à la figure formée de (F 0 ) et d’un 
point M 0 , on pourra dire que le point M est placé par rapport à (F) 
comme le point M 0 est placé par rapport à (F 0 ). Etant donné un 
système de coordonnées, dit primitif, on en aura un autre, qui sera 
équivalent au premier, en donnant pour coordonnées au point M les 
coordonnées primitives du point M 0 . On peut dire que le système 
de coordonnées primitif définit, suivant une certaine loi, la position 
d’un point par rapport à la figure de référence (_F 0 ); le nouveau sys 
tème de coordonnées équivalent définit suivant la même loi la position 
du point par rapport à la figure de référence (F). Le passage des 
anciennes coordonnées aux nouvelles se fait analytiquement par la 
transformation du groupe inverse de celle qui fait passer de (F 0 ) à (F). 
En géométrie analytique élémentaire on prend habituellement un système 
de coordonnées cartésiennes défini par un trièdre trirectangle et une 
unité de longueur. Tous ces systèmes de coordonnées sont équivalents.* 
On appelle corps un ensemble de figures (lignes, surfaces, familles 
de lignes, etc.) jouissant de la propriété suivante: 
Les différentes figures équivalentes à une figure quelconque de l’en 
semble appartiennent encore à l’ensemble. 
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