342 G- Fano. III 5. La théorie des groupes continus et la géométrie. E. Cartan. 
ces éléments, d’un système de coordonnées, les théorèmes fondamen 
taux de cette géométrie sont fournis par la solution du problème 
d’analyse suivant: Étant donnée une variété, et dans cette variété un 
groupe de transformations, déterminer tous les invariants de ce groupe. 
Un invariant est une fonction des coordonnées qui conserve sa forme 
pour toute transformation du groupe fondamental; on distingue les 
invariants absolus et les invariants relatifs: ceux-ci ne se reproduisent 
qu’à une puissance près d’un facteur dépendant des paramètres de la 
transformation. Les invariants précédents sont les invariants du corps 
des éléments générateurs de l’espace; tout corps fini peut admettre 
des invariants, fonctions des coordonnées des éléments du corps. Cer 
tains corps peuvent ne pas admettre d’invariants; mais il existe tou 
jours des corps finis qui en admettent. Il existe aussi d’autres espèces 
d’invariants, les invariants différentiels. Dans sa théorie des groupes 
de transformations, S. Lie a résolu dans ses traits essentiels le pro 
blème de la détermination des invariants. Nous y reviendrons plus 
loin [n° 45]. 
Le point de vue de F. Klein a l’avantage de mettre en évidence 
la vraie nature de la géométrie différentielle et de montrer que cette 
géométrie ne s’oppose pas à la géométrie projective ou à la géomé 
trie algébrique. Elle ne s’oppose qu’à la géométrie de l'espace complet. 
De même qu’il y a une géométrie métrique, une géométrie projective, 
etc. qui traitent des propriétés métriques, projectives, etc. de l’espace 
pris dans son intégralité, il y a une géométrie différentielle métrique, 
une géométrie différentielle projective, etc. qui traitent des propriétés 
métriques, projectives etc. de l’espace limité à l’entourage d’un point. 
La théorie des invariants différentiels est du domaine de ces géomé 
tries différentielles. 
Dans son Programme d’Erlangen 6 ), F. Klein a indiqué plusieurs 
groupes géométriques dont les théories n’ont été développées que plus 
tard. De nouveaux groupes géométriques ont été considérés depuis, 
quelques-uns de leurs sous-groupes ont été ensuite étudiés pour eux- 
mêmes. Nous nous bornerons dans ce qui suit aux plus importants. 
4. La géométrie élémentaire et son groupe fondamental. La 
géométrie euclidienne. Le groupe fondamental de la géométrie élé 
mentaire, dont il a déjà été question, est formé de l’ensemble des 
transformations par similitude, qui comprennent en particulier les dé 
placements et les retournements: ces derniers, que l’on appelle aussi 
«opérations de deuxième espèce», sont les produits d’un déplacement et 
d’une symétrie. Analytiquement et en coordonnées cartésiennes dans 
l’espace E 3 , toutes ces transformations résultent de la composition: