6. Sous-groupes continus du groupe projectif général. 
347 
S. Lie 22 23 ) a aussi démontré le théorème suivant: tout groupe con 
tinu fini dans une variété (complexe) à une dimension est semblable 
à un groupe projectif et contient par suite au plus trois paramètres 
(complexes). 
Ce théorème est aussi vrai 24 ) dans le domaine réel 25 ). 
b) S. Lie a déterminé tous les types de groupes continus pro 
jectifs du plan, ainsi qu’un représentant de chaque type. Deux grou 
pes projectifs sont dits appartenir au même type lorsqu’on peut passer 
de l’un à l’autre par une transformation elle-même projective 26 ). 
La détermination effectuée par S. Lie a mis en évidence le théo 
rème suivant: tout groupe projectif continu du plan laisse invariant 
un point ou une droite, à moins qu’il ne soit le groupe projectif 
général ou le groupe projectif à trois paramètres d’une conique. 
W. F. Meyer a déterminé les équations finies des différents types 
de groupes projectifs du plan, aussi bien en coordonnées non homo 
gènes qu’en coordonnées homogènes 27 ). Chacun de ces types peut être 
caractérisé par une certaine figure qu’il laisse invariante et aussi par 
une certaine équation différentielle invariante. 
H. B. Newson a déterminé aussi les groupes projectifs du plan, 
mais d’une manière synthétique 28 ). Il prend pour point de départ les 
homologies et leurs groupes 29 ), il compose ensuite à l’aide de ces groupes 
22) S. Lie, Kontinuierliche Gruppen 7 ), p. 129; Transformationsgruppen 7 ) 
3, p. 17, 
23) Nachr. Ges. Gott. 1874, p. 529/42; Math. Ann. 16 (1880), p. 455; Trans 
formationsgruppen 7 ) 3, p. 6. 
24) Transformationsgruppen 7 ) 3, p. 369. 
25) On doit à H. B. Newson [The Quart. Univ. Kansas 4 (1895/6), p. 71; 
Bull. Amer. math. Soc. 6 (1899/1900), p. 431] des recherches synthétiques sur les 
groupes projectifs continus réels de la ligne droite. Il s’est occupé aussi [Bull. 
Univ. Kansas 1 (1902), p. 115] des groupes projectifs complexes de la droite, 
interprétés comme groupes conformes réels du plan. 
26) Math. Ann. 16 (1880), p. 522 et suiv.; Archiv for Math, og Naturvi- 
denskab (Christiania) 10 (1885), p. 74 [1884]; S. Lie > Kontinuierliche Gruppen 7 ), 
p. 288; Transformationsgruppen 7 ) 3, p. 106. 
27) Mathematical papers of the Chicago Congress 1893, éd. New-York 1896, 
p. 187. On peut aussi par des intégrations obtenir les équations finies des grou 
pes finis et continus du plan en partant de leurs transformations infinitésimales. 
*W. F. Meyer [Allgemeine Formen und Invariantentheorie, Leipzig 1909] 
caractérise chaque groupe projectif par un système d’invariants linéaires. Cf. E. Schi- 
manski, Die algebraischen Invarianten der projektiven Gruppen der Ebene, Diss. 
Königsberg 1910; voir aussi W. F. Meyer, Jahresh. deutsch Math.-Ver. 20 (1911),p.l41.* 
28) The Quart. Univ. Kansas 4 (1895/6), p. 243; 5 (1896), p. 81; Amer. J. 
math. 24 (1902), p. 109; Proc. Amer. Assoc. advanc. sc. 51 Pittsbourg 1902, p. 305. 
29) Voir aussi A. Emch, The Quart. Univ. Kansas 5 (1896), p. 1,