348 G. JFano. III 5. La théorie des groupes continus et la géométrie. E. Cartan. 
particuliers des groupes projectifs de plus en plus étendus. Il retrouve 
ainsi tous les groupes projectifs obtenus par S. Lie et il donne de 
plus les équations finies de chacun d’eux 30 ). 
c) Tous les sous-groupes continus du groupe projectif de l’espace 
E % laissent au moins un point, une droite ou un plan invariant, à 
l’exception: 
1°) du groupe projectif à 10 paramètres d’un complexe linéaire 
non dégénéré; 
2°) du groupe projectif à six paramètres d’une surface du second 
ordre non dégénérée, c’est-à-dire représentée en coordonnées cartésiennes 
par une équation du second degré à discriminant différent de zéro; 
3°) du groupe à trois paramètres d’une cubique gauche. 
De ces trois groupes le premier est le seul qui ne laisse in 
variante ni courbe, ni surface 31 ). 
d) Dans l’espace E± les seuls groupes projectifs qui ne laissent 
invariante aucune variété plane sont, en dehors du groupe projectif 
général d’ordre 24: 
1°) le groupe projectif à dix paramètres d’une variété du second 
ordre à trois dimensions non dégénérée; 
2°) le groupe projectif à trois paramètres d’une courbe gauche 
(variété à une dimension) du quatrième ordre 32 ). 
e) Il existe pour n quelconque des théorèmes analogues. JE. Car- 
tan a déterminé tous les groupes projectifs de l’espace E n qui ne laissent 
invariante aucune variété plane 33 ). Il se déduisent tous par un procédé 
de composition régulier d’un nombre fini de groupes projectifs fonda 
mentaux, certains d’entre eux dépendant d’un entier arbitraire (comme 
le groupe projectif général de E n , le groupe projectif d’un complexe 
linéaire de E n+1 , etc.).* 
30) Ce n’est que par comparaison avec les résultats de S. Lie que H. B. 
Newson peut affirmer avoir obtenu tous les groupes projectifs du plan. 
31) S. Lie, Archiv for Math, og Naturvidenskab (Christiania) 10 (1885), 
p. 113 et suiv. [1884]; Transformationsgruppen 7 ) 3, p. 235. 
H. B. Newson [The Quart. Univ. Kansas 10 A C1901), p. 33, 87, 99] a aussi 
étudié quelques groupes projectifs particuliers de E s en les caractérisant cha 
cun par l’ensemble des éléments qu’il laisse invariants. 
32) *6r. Kowdlewski, Ber. Ges. Lpz. 51 (1899), math. p. 69.* 
33) + Bull. Soc. math. France 41 (1913), p. 53. La détermination a été faite 
auparavant pour n = 5, par Max Apfelstedt, Über eine Gattung von projektiven 
Transformationsgruppen in fünf Veränderlichen, Diss. Greifswald 1906, éd. 
Leipzig 1906; pour n — 6, par Adolf Kummer, Über eine Gattung von projek 
tiven Transformationsgruppen in sechs Veränderlichen, Diss. Bonn, éd. Göttin- 
gue 1908.*