6. Sons-groupes continus du groupe projectif général. 
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Le groupe projectif à n(n -f- 2) paramètres de E n est «simple», 
c’est-à-dire n’admet aucun sous-groupe invariant; ses plus grands sous- 
groupes sont à n{n -1- 1) paramètres et sont formés de toutes les 
transformations qui laissent invariant un point ou un E n _ x u ). 
+ Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune variété 
plane sont simples ou semi-simples; dans ce dernier cas ils sont formés 
de sous-groupes simples n’ayant aucune transformation infinitésimale 
commune, les transformations de deux de ces sous-groupes étant 
échangeables entre elles 35 ). 
Si l’on se borne aux éléments et aux paramètres réels, les résul 
tats sont un peu moins simples. Sur la droite réelle, il existe deux 
groupes projectifs ne laissant invariant aucun point réel: le groupe 
projectif général à trois paramètres et le groupe à un paramètre formé 
des transformations projectives réelles qui laissent invariants deux 
points imaginaires conjugués. Dans le plan réel, il existe trois groupes 
projectifs ne laissant invariant aucun point réel ni aucun droite réelle: 
le groupe projectif général, le groupe à trois paramètres d’une conique 
non dégénérée à points réels, et le groupe à trois paramètres d’une 
conique non dégénérée sans points réels. Dans l’espace E z il existe 
onze groupes projectifs rélse ne laissant invariants ni un point, ni une 
droite, ni un plan réels 35a ): 
1°) Le groupe projectif général à quinze paramètres; 
2°) le groupe projectif à dix paramètres d’un complexe linéaire; 
3°) ]e groupe projectif à sept paramètres qui échange entre elles les 
droites réelles rencontrant deux droites imaginaires conjuguées fixes, 
ou encore qui laisse invariant un faisceau réel de complexes linéaires 
dont les deux complexes dégénérés sont imaginaires conjugués; 
4°) le groupe projectif à six paramètres, invariant dans le précé 
dent, qui laisse invariant chacun des complexes linéaires du faisceau 
précédent; 
5°), 6°), 7°) le groupe projectif à six paramètres d’une quadrique, 
suivant que l’équation de cette quadrique est réductible à l’une des 
formes 
34) S.Lie, Math. Ann. 25 (1885), p. 130; Transformationagruppen 1, p. 560,569. 
35) *E. Gartan, Ann. Éc. Norm. (3) 26 (1909), p. 147.* 
35“) +E. Gartan [J. math, purea appl. (6) 10 (1914), p. 149 j a déterminé toua 
lea groupes projectifs réels de E n qui ne laissent invariants aucune variété plane 
réelle. Pour la détermination effective de ces groupes, pour n <Ç 7, voir p, 176/8; 
leur nombre est indiqué jusqu'à n — 11.* 
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