40 M 1. F. Enriques, Questions d’ordre élémentaire. 
Nous nous attacherons néanmoins, dans ce qui suit, au postulat 
de la continuité de Dedekind-Weierstrass, sauf dans certaines recherches 
spéciales où nous dirons explicitement que ce n’est pas ce postulat de 
continuité que nous avons en vue. Toutefois nous ferons abstraction 
de la manière dont IL Dedekind ou K. Weierstrass ont formulé leur 
postulat et nous le rapporterons plutôt à des concepts purement des 
criptifs, en particulier aux concepts qui sont déterminés par le groupe 
de postulats y énoncés au n° 11. 
14. Le postulat des parallèles. Le cinquième postulat des 
„Eléments“ à!Euclide U7 ) affirme que „deux droites d’un plan qui for 
ment avec une troisième droite de ce plan et du même côté de celle-ci, 
des angles dont la somme est inférieure à deux droits, se rencontrent 
si on les prolonge suffisamment“. 
„Kaï èàv Etg dvo ev fret a g sv&sicc èaniTCxovGa ràg èvxbg xcâ srii 
rà avxà [isçrj ycovLccg dvo oQd’âv èhccGGovccg non], éxj3aA,A,opsvag tàg 
dvo svrtsCag etc omelqov ôv^ltîltîxelv, ècp a yÉQT] elGÏv ai tœv dvo 
ôç&œv ¿IccGGoveç“. 
Ce postulat se trouve à la base de la théorie des parallèles. Il 
revient à affirmer que par un point extérieur à une droite donnée 
on peut mener une, et une seule parallèle à cette droite. 
Les grecs déjà 147 148 ) ont cherché à démontrer ce postulat en le 
rattachant aux postulats déjà admis et aux 28 premières propositions 
des „Eléments“ à’Euclide qui n’ont rien à voir avec le postulat des 
parallèles. Il suffit de rappeler les essais tentés dans cet ordre d’idées, 
au second siècle de notre ère, par Claude Ptolémée 149 ) et, au cinquième, 
par Proclus 1 ™). A ces essais 151 ) se rattachent ceux de Nassir ed Din 152 ) 
147) Elementa, livre 1, postulat 5; Opera, éd. J. L. Heiberg 1, Leipzig 
1883, p. 8. 
148) L’histoire de ces recherches depuis l’antiquité jusqu’à N. I. JLobacevskij 
et J. Bolyai a été exposée par P. Stciclcel et F. Engel, Die Theorie der Parallel- 
linien von Euklid bis auf Gauss, Leipzig 1895. Voir aussi JR. Bonola, dans 
F. Enriques, Questioni 29 ), p. 143/222. 
149) ^L’ouvrage où Claude Ptolémée traite de cette question est perdu, mais 
Proclus nous a conservé son essai [Procli Diadochi 2 ), p. 362/3].* 
150) *Procli Diadochi 2 ), p. 371/3.* 
151) *ün géomètre grec, probablement un peu postérieur à Proclus et dont 
le nom ne nous est connu que sous la forme arabe Aganis a essayé de dé 
montrer le postulat des parallèles d’une manière que rappelle l’essai de J. Wallis. 
Quel que soit le triangle que l’on envisage, Aganis suppose que l’on puisse cons 
truire un triangle semblable plus grand ce qui lui permet de déterminer le 
point où deux droites non parallèles se rencontrent [Anaritii Euclidis commen 
tarii 74 ), p. 70/3].*