15. Développement de la théorie des parallèles. 
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velles théories. Le nom de „géométrie absolue“ provient de la croyance 
à la validité absolue des postulats géométriques autres que celui des 
parallèles. Le nom de „géométrie non-euclidienne“, dont C.F. Gauss m ) 
faisait usage, peut être pris à bon droit au sens propre quand on 
considère le système géométrique correspondant comme résultant de 
la négation du postulat d’Euclide; on s’en est servi quelquefois 
d’une façon impropre pour désigner la géométrie qui comprend à la 
fois le cas euclidien et le cas non-euclidien. Nous ne ferons usage 
de ce nom de „géométrie non-euclidienne“ qu’au sens propre et nous 
adopterons pour désigner le système géométrique comprenant à la fois 
la géométrie euclidienne et la géométrie non-euclidienne le nom de 
géométrie générale. 
Les résultats de N I. Lohacevslcij et de J. Bolyai n’épuisent d’ailleurs 
pas tout le champ de la géométrie non-euclidienne. Ils supposent 
toujours, en eiîet, que la droite a une longueur infinie. Or on peut 
supposer, au contraire, que la droite a une longueur finie et, dans cette 
hypothèse, on arrive à un système de géométrie non-euclidienne bien 
différent des précédents, comme l’a montré B. Biemann 177 178 ) (cf. n° 26). 
15. Développement de la théorie des parallèles. Nous allons 
chercher à préciser le fondement sur lequel repose la théorie générale 
des parallèles. 
Convenons tout d’abord d’admettre les propositions fondamentales 
relatives à la droite et au plan ainsi qu’à la congruence et au 
mouvement, sur lesquelles s’appuient les 28 premières propositions 
dFuclide. Considérons une droite a et un point extérieur A. Con 
struisons le faisceau de droites projetant, depuis A, les points de a. 
Les droites limites de ce faisceau sont désignées sous le nom de parallèles 
à a menées par A. Dans l’hypothèse euclidienne il y a une parallèle 
à a menée par A, et une seule. Mais deux autres hypothèses sont 
compatibles avec les postulats déjà admis: dans l’une de ces hypothèses, 
qui est celle de J. Bolyai et N. 1. Lobacevskij, on peut mener deux 
parallèles à a par A; dans l’autre, qui est celle de B. Biemann, on ne 
peut mener aucune parallèle à a par A. 
Si, relativement à une droite a et à un point A, on admet une 
de ces trois hypothèses, cette même hypothèse se trouve vérifiée par 
rapport à toute autre droite & et à un point B quelconque extérieur 
à h. De toute façon, si & est une parallèle à a menée par un point A, 
177) *Werke 8, Gôttingue (Leipzig) 1900, p. 220.* 
178) +B. Biemann, Habilitationsschrift 12 ); Abh. Ges. Gott. 13 (1866/7), éd. 1868, 
math. p. 133 et suiv.; Werke, (2 e éd.) publ. par H. Weber, Leipzig 1892, p. 272 
et suiv.; trad. L. Laugel, Paris 1898, p. 280 et suiv.*