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III 1. F. Enriques. Questions d’ordre élémentaire. 
h est aussi une parallèle à a pour un autre point A' fixé arbitrai 
rement sur h; de plus a est parallèle à h en sorte que le parallélisme 
est une relation réciproque entre deux droites (dites parallèles) qui ne 
dépend que de ces deux droites. 
Les trois systèmes de géométrie résultant, le premier de l’hypothèse 
d’Euclide, le second de celle de J. Bolyai et N. I. Lobaôevskij, le 
troisième de celle de B. Biemann, ont été respectivement désignés 
par F. Klein 1 ™) sous le nom de „géométrie parabolique“ „géométrie 
hyperbolique“ et „géométrie elliptique“ [cf. n° 30], On peut les carac 
tériser par la valeur de la somme des angles d’un triangle rectiligne 
quelconque: dans la géométrie parabolique cette somme est égale à 
deux angles droits, dans la géométrie hyperbolique elle est inférieure 
à deux angles droits, et dans la géométrie elliptique elle est supérieure 
à deux angles droits. 
Dans les géométries non-euclidiennes, le théorème de Pythagore 
est remplacé par une relation plus générale qui sert de base aux for 
mules de la trigonométrie non-euclidienne (elliptique et hyperbolique). 
La trigonométrie euclidienne, ou parabolique, rentre dans cette trigo 
nométrie comme cas limite 179 180 ). Pour des triangles infiniment petits 
les formules de la trigonométrie non-euclidienne sont les mêmes 181 ) 
que celles de la trigonométrie euclidienne 182 ). 
16. Nouveaux développements sur la théorie des parallèles. 
Deux questions concernant la théorie des parallèles et intéressant les 
179) *F. Klein, Math. Ann. 4 (1871), p. 577, 606, 607, 611.* 
180) Les formules de la trigonométrie hyperbolique ont été données par 
J. Bolyai et N. I. LobacevsMj. Celles du cas elliptique sont les formules de la 
trigonométrie sphérique dues pour la plupart à J. H. Lambert. Pour passer de 
ces formules de trigonométrie sphérique (dans lesquelles figure le rayon B de la 
sphère sur laquelle sont tracés les triangles sphériques) aux formules de la tri 
gonométrie hyperbolique, il suffit d’ailleurs de remplacer dans les formules de 
trigonométrie sphérique le nombre réel B par le nombre purement imaginaire i B. 
181) Cette remarque a servi de base à un procédé d’intégration par lequel 
on obtient les formules ordinaires de la trigonométrie en partant de celles qui con 
cernent les triangles infiniment petits. *Ce procédé est dû à L. Euler [Hist. 
Acad. sc. Berlin 9 (1753), éd. 1755, p. 223/57].* 
Voir à ce sujet G. Flye S te Marie, Études analytiques sur la théorie des 
parallèles, Paris 1871, p. 70 et suiv. ; + W. Killing, Die nicht-euklidischen Raum- 
formen in analytischer Behandlung, Leipzig 1885;* Ch. J. de la Vallée Poussin, 
Mathesis (2) 5 (1895), supplément 5, p. 7/15; Ann. Soc. scient. Bruxelles 19 2 
(1894/5), p. 17/26 et déjà G. F. Gauss, Werke 8, Gôttingue (Leipzig) 1900, p. 255. 
182) Pour ce qui concerne la possibilité de fonder la géométrie hyperbo 
lique sans faire usage de la continuité, cf. D. Hilbert, Grundlagen 27 ), (3 e éd.) 
p. 156/76. *Pour ce qui, dans cet ordre d’idées, concerne la géométrie générale, 
voir F. Schur, Grundlagen 81 ), p. 100/2.*