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HI 1. F. Enriques. Questions d’ordre élémentaire. 
se coupent toujours en deux points, on a regardé cette propriété 
comme convenant à la géométrie analytique plane à laquelle ne saurait 
dès lors s’appliquer le postulat: „deux points déterminent une droite". 
Cette manière de voir a été rectifiée par F. Klein 188 ) qui a mon 
tré que quand on reporte sur une surface donnée les constructions 
concernant la géométrie plane non euclidienne, ce n’est que ce qui 
concerne une région limitée du plan qui s’identifie avec ce qui con 
cerne une région limitée de la surface et que, par suite, il n’est pas 
permis a priori d’appliquer au plan ce qui se dit de la surface con 
sidérée dans sa totalité (cf. n os 24 et 43). 
La géométrie plane non-euclidienne se reflète entièrement, non 
dans la géométrie sur la splière, mais dans la géométrie ordinaire des 
gerbes de droites, ce qui signifie qu’en substituant aux „points" du 
plan les „droites" de la gerbe et aux expressions „droite" et „distance", 
celles de „faisceau" et „angle", toutes les propositions du plan elliptique 
qui constituent la géométrie elliptique se ramènent aux propositions 
ordinaires de la géométrie de la gerbe, et inversement. 
On voit ainsi la parfaite compatibilité de l’hypothèse elliptique 
du plan avec les postulats de la droite et de la congruence dans 
le plan. 
Toutefois les interprétations des géométries planes non-euclidiennes 
ne sauraient suffire pour établir l’indépendance du postulat d’Euclide 
à l’égard des premiers postulats de la géométrie dans l'espace, parce 
qu’elles n’excluent pas la possibilité de démontrer le postulat d’Euclide 
par des constructions dans l’espace (analogues à celles par lesquelles 
on démontre le théorème des triangles homologues situés dans un 
même plan sans s’astreindre à ne construire que des figures situées 
dans ce plan). 
On se rend ainsi bien nettement compte de la nécessité de chercher 
dans Vespace la preuve de la possibilité logique de la géométrie non- 
euclidienne. 
Cette preuve se tire de la théorie des variétés à trois dimensions 
ayant une courbure constante (n° 31 h) ou encore, quand on se place 
au point de vue de F. Klein, elle se rattache à la détermination mé 
trique que A. Cayley applique à chaque quadrique 189 ). 
188) *F. Klein, Math. Ann. 6 (1873), p. 140. Voir aussi ce que dit F. Klein 
[Jahrb. Fortschr. Math. 8 (1876), éd. 1878, p. 313/4] à propos de J. Urischauf, 
Elemente der absoluten Geometrie, Leipzig 1876. Cf. W. Killing, Geometrie 77 ) 
1, p. 362, note 12.* 
189) Cf. A. Clebsch, Yorlesungen über Geometrie publ. par F. Lindemann 2 1 , 
Leipzig 1891, p. 540 (section 3, § 8).