16. Nouveaux développements sur la théorie des parallèles. 
49 
Chacune de ces démonstrations fournit la preuve de l’indépen 
dance du postulat d’Euclide par rapport aux postulats qui concernent 
les relations de droites et de plans, la congruence et la continuité; 
elle montre aussi la possibilité d’établir l’existence logique des procédés 
employés soit par les formules analytiques non contradictoires que 
l’on a établies, soit en supposant donnée comme possible, sur la base 
de l’intuition, la géométrie euclidienne ordinaire [voir à ce sujet n° 4]. 
C’est ainsi que se pose, au point de vue philosophique, le pro 
blème de savoir si la géométrie non euclidienne peut représenter non 
seulement une possibilité logique, mais aussi une possibilité physique. 
A cet égard on observera tout d’abord que l’expérience seule 
peut décider en dernier ressort. Mais une expérience ne saurait être 
effectuée qu’avec une certaine approximation. Il en résulte que si des 
expériences dans lesquelles on constaterait par exemple que la somme 
des angles d’un triangle est, au degré d’approximation avec lequel on 
opère, inférieure à deux angles droits, fourniraient une preuve certaine 
de la légitimité de la géométrie hyperbolique, il ne sera jamais 
possible, quelque loin que l’on pousse l’approximation des mesures, de 
conclure de mesures effectuées, concernant la somme des angles d’un 
triangle, la certitude physique de l’hypothèse euclidienne 190 191 ). 
En fait, les mesures géodésiques m ) ou astronomiques 192 ) d’angles 
de triangles physiques effectuées jusqu’ici n’ont jamais permis de 
reconnaître que la somme des angles de quelque triangle physique 
diffère effectivement de deux angles droits, soit en plus, soit en moins 193 ). 
b) Pour répondre à la seconde des deux questions posées, nous 
nous contenterons d’énumérer les principales hypothèses équivalentes 
au postulat d’Euclide, quand on admet toutes les hypothèses con 
cernant la liaison (n° 9, «), la disposition (n° 10, ß), la congruence 
(n° 11, ß) et la continuité, en modifiant toutefois les postulats ß du 
n° 10 de façon qu’ils n’impliquent pas nécessairement l’idée de la droite. 
1) Existence d’une seule parallèle menée par un point à une 
droite donnée. 
2) Existence de deux droites d’un plan qui ne se coupent pas 
et sont équidistantes. 
190) Cf. F. Enriques, Problemi délia scienza 23 ), p. 289. 
191) C. F. Gauss, Disquisitiones circa superficies curvas [Commentât. Soc. Gott, 
recent. 6 (1823/7), éd Göttingen 1828, § 28]; Göttingische gelehrte Anzeigen 1827, 
p. 1767/8; Werke 4, Göttingue 1880, p. 257/8, 346/7; cf. Werke 8, Göttingue 
(Leipzig) 1900, p. 267/8. 
192) F. Engel, N. I. Lobatschewski] 17S ) 1, p. 22, 78. 
193) Cf. F. Zöllner, Wiss. Abh. 1, Leipzig 1878, p. 229. 
Encyolop. des scienc. mathémat. III 1. 
4