17. Aire et volume. 
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17. Aire et volume 202 203 204 205 ). Euclide m ) traite les aires et volumes 
comme des grandeurs sui generis en prenant comme base les axiomes 
suivants où il voit des attributs du concept général de la grandeur: 
1) Tà rc3 avxtà ioa nal àXXrjXoig èôxlv 1ба. 
2) K al éàv Ldoig 16 a ядобте&Т], xà oXa èôxlv i'6cc. 
3) Kal éàv ало i'6cov i'6a àcpaLQE&Ti, xà шхаХембдёга é6xiv Ï6a. 
7) Kal xà éqiaQgôÇovxa isi àXXr'jXa i'6a àXXr\Xoig èôxiv. 
8) Kal xo oXov xov géçovg gelÇov [èexiv]. 
c’est-à-dire: 
1) Les quantités égales à une même quantité sont égales entre elles. 
2) Si l’on ajoute des quantités égales à des quantités égales, les 
sommes sont égales. 
3) Si de quantités égales on soustrait des quantités égales les 
restes sont égaux. 
7) Des quantités superposables sont égales entre elles. 
8) Le tout est plus grand que la partie. 
A. Bornons-nous d’abord au cas des figures planes. 
Les quatre premiers de ces cinq axiomes établissent deux critères 
nettement distincts pour reconnaître l’équivalence des surfaces planes, 
c’est-à-dire l’égalité des aires des surfaces planes: 
a) le partage de ces surfaces en parties congruentes [équivalence 
des surfaces par addition: axiomes 1, 2 et 7]. 
202) Les premiers travaux concernant la mécanique dans l’espace non 
euclidien sont ceux de J. de Tilly, Etudes de mécanique abstraite [Mém. couronnés 
et autres mém. Acad. Belgique in 8°, 21 (1870), mém. n° 6, p. 3/98 [1868]]. Yoir 
aussi J. de Tilly, Mém. Soc. sc. phys. nat. Bordeaux (2) 3 (1880), p. 1/190 [voir sur 
tout p. 177 (chap. 5, n° 21)]. 
Après J. de Tilly, on peut citer E. Schering, Nachr. Ges. Gôtt. 1870, p. 311; 
1873, p. 149; B. Lipscldtz, J. reine angew. Math. 74 (1872), p. 116; W. Killing, 
id. 98 (1885), p. 1/49 (surtout p. 24 et suiv.). 
203) Pour ce qui concerne le rapport du postulat des parallèles et du 
postulat d’Archimède, voir n° 52. 
204) Ces questions sont traitées d’une façon détaillée par U. Amaldi, dans 
F. Enriques, Question! * 9 ), p. 103 et suiv., et par O. Hôlder, Ber. Ges. Lpz. 53 (1901), 
math. p. 1 et suiv. 
205) Elementa, livre 1, -aolvoI évvoiai a, y', r[ (Communes animi 
conceptiones) ; Opéra, éd. J. L. Heiberg 1, Leipzig 1883, p. 10. 
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