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III 1. F. Enriques. Questions d’ordre élémentaire. 
b) la possibilité de considérer deux figures comme différences 
entre figures congruentes [équivalence des surfaces, par soustraction: 
axiomes 3 et 7]. 
De ces deux critères, Euclide emploie tantôt l’un, tantôt l’autre, 
dans la théorie de l’équivalence (l’égalité des aires) des polygones plans. 
C’est en se basant sur l’axiome 8 qu’il prouve les théorèmes in 
verses où de l’équivalence (égalité des aires) de certains polygones 
il conclut à l’égalité de certains segments déterminés. 
Aux critères a et b, Euclide en ajoute un troisième dans lequel 
l’égalité des aires (l’équivalence des surfaces) est prouvée indirectement. 
C’est l’emploi de ce troisième critère qui constitue la méthode d’ex- 
houstion 206 ) [cf. 13, 14]. 
Ce critère se fonde sur la supposition implicite que „si deux 
surfaces sont inégales, il existe une surface qui, ajoutée à l’une des 
deux (à la plus petite), donne une somme égale à l’autre (à la plus 
grande).“ 
Cette supposition, et par suite la méthode d’exhaustion, s’applique 
d’ailleurs aussi bien aux surfaces gauches et aux volumes qu’aux sur 
faces planes. 
En appliquant alternativement les critères a et b pour reconnaître 
l’équivalence des polygones plans, Euclide se trouve avoir fait quel 
que chose de superflu. P. Gervien 207 ) a, en effet, prouvé que deux 
polygones plans [ou sphériques], d’aires égales, peuvent toujours être 
envisagés comme équivalents par addition, en sorte que le critère b 
est inutile et qu’il suffit d’appliquer le critère a seulement. 
W. Bolyai 208 ) avait déjà fait la même remarque. Il voulait, en 
outre, démontrer, pour des surfaces quelconques, le théorème que voici: 
Lorsque deux figures congruentes ont une partie commune, les 
parties de ces deux figures qui ne sont pas superposées peuvent être 
divisées en parties congruentes. 
Si cette proposition était démontrée, il en résulterait le théorème 
plus général; 
Quand de deux surfaces congruentes on enlève des parties con 
gruentes, ce qui reste des deux surfaces peut être divisé en parties 
respectivement congruentes. 
Mais la proposition de W. Bolyai ne peut être actuellement en 
206) Elementa, livre 10 prop. 1; Hvre 12 prop. 2; Opera, dd. J. L. Heiberg 
3, Leipzig 1886, p. 4/7; 4, Leipzig 1885, p. 140/9. 
207) J. reine angew. Math. 10 (1833), p. 228, 235. 
208) Tentamen 68 ) 1, Maros-Yasarheljini 1832, p. 51 (§ 35).