17. Aire et volume. 
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visagée comme démontrée: en tous cas la démonstration qu’en a donnée 
W. Bolyai est tout à fait insuffisante. 
J. M. C. Duhamel 209 ), qui a étudié au point de vue critique la 
question qui nous préoccupe, a, le premier, montré la nécessité lo 
gique de définir à nouveau, pour toute classe de grandeurs géomé 
triques, les concepts „somme“, „partie“, „plus grand“ et „plus petit“. 
Il a été ainsi amené, dans la théorie de l’équivalence des surfaces 
(l’égalité des aires), à suivre une nouvelle voie où le concept de 
l’équivalence (de l’égalité) n’apparaît plus comme une relation non 
définie vérifiant les conditions euclidiennes 1 à 5. 
J. M. C. Duhamel définit, tout au contraire, l’équivalence des sur 
faces (l’égalité des aires) comme une équivalence ou une égalité par 
addition de parties congruentes et cette définition remplace complète 
ment les axiomes 1 à 4 d'Euclide. Il développe ensuite quelques 
théorèmes concernant l’égalité des aires en cherchant à éviter systé 
matiquement l’emploi de la soustraction et, par suite, de l’axiome 3 
d’Euclide. Il a, en particulier, prouvé, par un procédé dans lequel 
apparaît l’axiome à’Archimède 210 211 ), que deux parallélogrammes de base 
et de hauteur égales sont équivalents (c’est-à-dire décomposahles en 
parties congruentes). 
Ces développements ont été complétés par A. Faifofer 2n ) : la 
théorie ainsi construite ne repose que sur des définitions; elle ne fait 
appel à aucun nouveau concept primitif. 
Mais A. de Zolt 212 ) a remarqué que dans la démonstration des 
théorèmes inverses où, de l’égalité des aires, on conclut à celle 
de segments, apparaît toujours l’axiome 8 éé Euclide qui, si l’on dé 
finit l’égalité des aires par addition, se traduit par le principe que 
voici: si l’on partage un polygone d’une manière quelconque, il est 
impossible, après avoir supprimé une de ses parties, de disposer les 
autres de telle sorte qu’elles couvrent complètement le polygone. 
Si l’on suppose que ce principe est évident, on doit l’envi 
209) Des méthodes dans les Sciences de raisonnement (2® éd.) 2, Paris 
1866, p. 445 en note; (3® éd.) 2, Paris 1896, p. 445 en note; voir aussi les cha- 
pitres 1 et 5. 
210) D. Hilbert [Grundlagen 27 ), (3® éd.), p. 60] a insistè sur l’impossibilité 
de se passer de cet axiome (voir n° 50). 
211) Elementi di geometria ad uso degli istituti tecnici e dei licei, Venise 
1895, p. 180. 
212) Principii della eguaglianza di poligoni (equivalenza di poligoni) pre 
ceduti da alcuni cenni critici sulla teoria della equivalenza geometrica, Milan 
1881; Principii della eguaglianza di poliedri e di poligoni sferici, Milan 1883.