18. Nouveaux développements de la théorie. 
57 
18. Nouveaux développements de la théorie des proportions 
au sens des anciens. Dans les Eléments d’Euclide™ 2 ) on rencontre 
quelques propositions qui sont établies deux fois, une fois à l’aide 
de l’égalité des aires, une seconde fois à l’aide de la théorie arithmé 
tique des proportions. H. G. Zeuthen * 233 ) suppose qu’il y a là comme 
le dernier reflet d’une ancienne divergence de vues sur la façon de 
traiter les problèmes, divergence naturelle reposant en dernière analyse 
sur les difficultés inhérentes à l’introduction des rapports incommen 
surables. Ces difficultés ayant été complètement surmontées par les 
géomètres qui ont fondé la théorie des proportions, vraisemblablement 
peu de temps seulement avant qu’Euclide n’ait rassemblé les maté 
riaux à l’aide desquels il a composé ses „Eléments" 234 ), il est fort 
compréhensible que, tout en cherchant dans son ouvrage à mettre en 
pleine lumière les procédés arithmétiques de la théorie des proportions, 
il ait aussi insisté sur les démonstrations usuelles faites à l’aide des 
méthodes purement géométriques. 
Les développements qui visent à dégager la géométrie de toute 
considération relative au concept du nombre ont été reprises de nos 
jours et l’on est ainsi parvenu à édifier une théorie purement géométrique 
des proportions entre segments de droite. Cette théorie fournit une 
méthode directe d’investigation géométrique entièrement indépendante 
de l’arithmétique. 
Les théorèmes qui peuvent servir de fondement à cette façon 
de procéder sont: 
1) le théorème concernant la proportionalité des segments déter 
minés sur les côtés d’un angle par des droites parallèles entre elles 235 ). 
Ce théorème a été attribué par quelques auteurs 236 ) à Thalès et, 
pour abréger, nous conserverons dans ce qui suit cette dénomination 
quoi qu’elle n’ait aucune raison d’être. 
23*2) Par exemple, le problème résolu deux fois: Elementa, livre 2 prop. 11 
et livre 6 prop. 30 [Opéra, éd. J. L. Heiberg 1, Leipzig 1883, p. 152; 2, Leipzig 
1884, p. 170]. 
233) H. G. Zeuthen, Forelaesning 46 ), trad. J. Mascart, p. 90, lignes 5/8. 
234) *On attribue ordinairement à Eudoxe la théorie des proportions for 
mulée d’une façon rigoureuse. Voir à ce sujet H. G. Zeuthen, Forelaesning 46 ), 
trad. J. Mascart, p. 89. Cette théorie était déjà familière à Aristote qui était 
de vingt ans plus jeune qu 'Eudoxe [cf. J. E. Heiberg, Abh. Gesch. Math. 18 (1904), 
p. 11/2] (Note de G. Enestrdm).* 
235) Cf. Euclide, Elementa, livre 6, prop. 2; Opéra, éd. J. L. Heiberg 2, Leipzig 
1884, p. 76/81. 
236) *Pour ce qui concerne les raisons peu concluantes de cette attribu 
tion, voir P. Tannery, La géométrie grecque, Paris 1887, p. 91 (Note de 
G. Enestrdm).*