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III 1. F. Enriques. Questions d’ordre élémentaire. 
côté, de façon que les paires de droites (12, 45) et (23, 56) soient 
parallèles, alors*les droites (34,61) seront aussi nécessairement parallèles. 
Ce théorème et sa démonstration, basée sur des réflexions touchant 
l’égalité des aires (l’équivalence des surfaces), sont contenus dans la 
„Collection“ de Pappus 2U ): c’est pourquoi, afin d’abréger, nous dé 
signerons ce théorème sous le nom de théorème de Pappus 2 * 5 ). 
Une démonstration fort simple du théorème de Pappus, due 
vraisemblablement à K. Kupffer 244 24S ), est fondée sur l’égalité des angles 
périphériques dans le cercle; elle est indépendante du concept de l’aire. 
Une démonstration dans laquelle intervient un hyperholoïde de 
révolution a été indiquée par F. Schur 2il 247 ). D’autres démonstrations^ 
conservant le caractère de géométrie plane ont été données par 
JD. Hilbert 248 ). 
JD. Hilbert a d’ailleurs construit à nouveau toute la théorie géomé 
trique des proportions entre segments. 
De ce qui précède on conclut que le théorème de géométrie plane 
de G. JDesargues (n° 27, a) qui, comme on sait, ne peut être démontré, 
à l’aide des postulats de la dépendance mutuelle, de la disposition, et 
des parallèles, qu’en effectuant des constructions dans l’espace, peut 
être démontré, en se plaçant au point de vue qui nous occupe, sans 
quitter le plan. Si, en effet, la possibilité de l’interversion des termes 
moyens d’une proportion fait partie des données, la propriété tran 
sitive de l’égalité des rapports et le théorème du rapport composé 
se ramènent l’un à l’autre, en sorte que le théorème de Desargues 
conduit au caractère transitif du parallélisme (postulat des parallèles). 
Des recherches de F. Schur et de I). Hilbert découle encore un 
autre résultat important: 
Dans le plan, la propriété géométrique des proportions entre segments, 
basée sur les propriétés des parallèles et de la congruence, est indépen 
dante du postulat d’Archimède. 
Le développement de cette théorie géométrique des proportions 
a encore été quelque peu simplifié par plusieurs recherches que nous 
allons énumérer: 
244) Evvceycoyi) iia&rnuxtLyirj (écrit vers 295) livre 7, prop. 134; éd. 
F. Hultsch, Pappi Alexandrini math, collectiones 2, Berlin 1877, p. 878/9. 
245) Ce théorème de Pappus (et plus généralement celui qui en découle 
par projection et se rapporte à l’hexagone inscrit dans une paire de droites) 
rentre comme cas particulier dans celui de B. Pascal sur l’hexagone inscrit 
dans une conique [cf. III15]. 
246) Sitzgsb. Naturf, Ges. Unix. Dorpat (Jurgev) 14 (1893), p. 373 et suiv. 
247) Math. Ann. 51 (1899), p. 401. 
248) Grundlagen 27 ), (3 e éd.), p. 38/45, 97/106.