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Zweiter Abschnitt. Transformation der Gleichungen. Y. 
oder Am -f- 3 ist. Ist gerade, so muss für lauter reelle 
Wurzeln der Gleichung das Absolutglied ein -f- Zeichen haben; ist 
dagegen ungerade, so muss für lauter reelle Wurzeln das 
Absolutglied ein — Zeichen haben. Sind die Vorzeichen entgegen 
gesetzte, so wird man hieraus schliessen müssen, dass unter den 
Wurzeln auch complexe Vorkommen. Für lauter reelle Wurzeln 
ist das letzte Glied der Gleichung der quadrirten Differenzen 
1), und D 3 negativ, 
D 4 und D 5 positiv, 
D e und D 7 negativ j u. s. f. 
Man wird demnach zur Prüfung der Realität der Wurzeln einer 
Gleichung das Vorzeichen der Discriminante ermitteln müssen. Für 
die Gleichungen der ersten fünf Grade gelten folgende Regeln: 
Sind D 2 und D y negativ, so sind alle Wurzeln reell; sind 
D 2 und D 3 positiv, so sind zwei Wurzeln comp lex. Sind ferner 
D 4 und D 5 positiv, so sind alle Wurzeln reell oder vier com- 
plex; sind D 4 und D 5 negativ, so sind zwei Wurzeln complex, 
die übrigen reell. 
§ 21. Die Discriminanten der Cayley’sehen Formen. 
Geht man aus von der in § 1 genauer bezeiclmeten Form des 
binären Polynoms 
f( x ,y) = («, 1,0,... t)\x,y) n , 
so nehmen die Discriminanten eine viel einfachere Gestalt an. Nach 
Brioschi erhält man dann die Discriminante, wenn man die beiden 
partiellen Differenzialquotienten und 0-Q gleich Null setzt 
und die Variabein x und y eliminirt. Dies Verfahren lässt sich 
von dem oben angewandten leicht ableiten. Das binäre Polynom sei 
f(x,y)=iax n + (^jbx n - l y + 4 \-^sxy n ~ l -{-ty n = 0, 
dann ist 
(faj) ==s naxn 1 + (ß — 1) Q^ bx n ~ 2 y -| f- nsy" 
= 0. 
Multiplicirt man f{x,y) mit n und ^ mit x, dividirt die 
Differenz der beiden Gleichungen durch y, so erhält man: