19. Conclusion. 
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F. Schur 2iT ) a remarqué qu’il suffit de prouver le théorème de 
Pappus dans un seul cas particulier, par exemple quand l’angle sur 
les côtés duquel sont les deux triples de points envisagés est un angle 
droit. Dans ce cas particulier, il a démontré fort simplement le 
théorème en s’appuyant seulement sur ce que les trois hauteurs d’un 
triangle concourent en un même point. 
J. Mollerup 25 °) a donné une démonstration fort simple du même 
théorème dans le cas général, mais cette démonstration ne contient 
au fond rien qui la distingue essentiellement des précédentes. 
B. Levi 249 250 251 ) a donné une forme élémentaire aux développements 
qui sont nécessaires à l’établissement du cas particulier du théorème 
de Pappus correspondant à la possibilité de l’interversion des termes 
moyens d’une proportion. La théorie des proportions est d’ailleurs 
intimement liée aux questions qui se rapportent au théorème fonda 
mental de la géométrie projective (cf. n° 27). 
En ce qui concerne le théorème de Pappus dans la géométrie 
non archimédienne, voir n° 50. 
19. Conclusion. Ce qui précède permet de reconnaître trois 
groupes distincts de propriétés géométriques; 
1) Les propriétés qui se rapportent aux concepts situé entre, 
côtés d'un plan, segment, angle, . . . (propriétés linéaires des droites 
qui comprennent aussi la continuité, et propriétés des surfaces planes). 
2) Les propriétés qui se rapportent au concept d’appartenance 
(de points, de droites et de plans). 
3) Les propriétés qui se rapportent au concept de congruence. 
En géométrie élémentaire, ces trois sortes de propriétés sont in 
timement liées entre elles. Elles y sont dans un rapport de sub 
ordination réciproque tel qu’on ne peut énoncer les propriétés d’un 
groupe sans se reporter, au moins en partie, à des propriétés d’un 
autre groupe. Mais le développement de la géométrie a précisément 
conduit à les distinguer les unes des autres. 
On comprend bien comment cette distinction s’est produite si 
l’on caractérise, comme l’a fait F. Klein 252 ) pour la première fois 
dans son programme d’Erlangen, les divers ordres de recherches de 
la géométrie par les groupes de transformation qui leur corres 
pondent. 
249) Math. Ann. 67 (1903), p. 205. 
250) Math. Ann. 58 (1904), p. 479. 
251) Supplemento al periodico mat. 6 (1903/4), p. 114/7. 
252) F. Klein, Progr. Erlangen 1872; Math. Ann. 43 (1893), p. 63/100.