A la géométrie élémentaire correspond un groupe de transfor 
mations, le groupe des mouvements et renversements, y compris les 
transformations de similitude. Ce groupe, nommé par F. Klein 
groupe principal {Hauptgruppe), laisse invariantes toutes les propriétés 
énumérées 1, 2 et 3. 
Au lieu de mouvements, on peut d’ailleurs considérer des trans 
formations plus générales qui ne laissent invariantes qu’une partie de 
ces propriétés 1, 2 ou 3, et modifient les autres. On obtient ainsi 
plusieurs espèces de géométries dans chacune desquelles on ne s’occupe 
que de celles de ces propriétés que l’on y considère comme inva 
riantes. Nous ne mentionnerons ici que les deux principales d’entre 
elles: 
a. C’est d’abord la géométrie projective où l’on étudie les pro 
priétés qui sont invariantes relativement au groupe des collinéatious, 
c’est-à-dire les propriétés résultant de l’ensemble des postulats a et £ 
des numéros 9 et 10 auxquels on a adjoint le postulat (ordinaire) 
de la continuité. 
b. C’est ensuite la théorie du continuum [ou Analysis situs] où 
Ton considère les propriétés qui sont invariantes relativement à des 
transformations continues quelconques. Ce sont les propriétés corres 
pondant à l’ensemble des postulats a du n° 9 détachées, par le procédé 
employé, des propriétés particulières des droites et du plan. 
A cette façon de voir ajoutons encore une autre considération 253 ). 
Si l’on examine un groupe de transformations relativement à une 
figure particulière (en faisant abstraction de ce qui est hors de cette 
figure), celles des propriétés géométriques qui sont invariantes rela 
tivement au groupe prennent une signification nouvelle et conduisent 
ainsi à une géométrie sur la figure envisagée. 
Si, par exemple, on examine, relativement à une surface quel 
conque, le groupe des mouvements qui forme la base de la géométrie 
élémentaire, on est amené à des considérations générales 
rapports métriques des figures situées sur une surface, considérations 
dont l’ensemble constitue la géométrie sur les surfaces (géométrie 
différentielle de mesure dans laquelle on considère les propriétés inva 
riantes relatives à l’applicabilité des surfaces). 
En généralisant ensuite cette géométrie sur les surfaces on aboutit 
à la géométrie métrique sur les variétés à plusieurs dimensions, et, 
en particulier, sur les variétés à trois dimensions. Cette géométrie