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III 1. F. Enriques. Théorie du continuum. 
on passe ensuite aux recherches de caractère plus restreint de géomé 
trie projective d’une part, de géométrie métrique sur les variétés à un 
nombre quelconque de dimensions d’autre part, pour aboutir à l’étude 
plus restreinte encore de la géométrie élémentaire. 
Le passage de VAnalysis situs à la géométrie projective se fait 
en imaginant un système particulier de courbes et de surfaces données 
(jouissant de propriétés convenablement choisies) que l’on appelle 
lignes droites et plans 255 ). 
Le passage de l’Analysis situs à la géométrie métrique générale 
sur les variétés à n dimensions se fait, soit avec B. Biemann 256 ) en 
imaginant comme donnée une certaine opération métrique (telle que 
la mesure d’une ligne ou de la distance de deux points par exemple) 
jouissant de propriétés déterminées, soit en supposant donné un certain 
système de lignes et de surfaces (telle que des lignes géodésiques 
par exemple) relativement à l’opération métrique envisagée. 
On passe de la géométrie projective à la géométrie métrique 
élémentaire en distinguant dans la détermination métrique une courbe 
(ou surface) du second degré 257 ). Si l’on veut, en particulier, parvenir 
à la détermination métrique ordinaire envisagée par Euclide, on peut 
le faire en envisageant la géométrie de l’affinité comme une étape inter 
médiaire 258 ). 
On passe de la géométrie métrique générale des variétés à n di 
mensions à la géométrie élémentaire d’Euclide, ou aussi à la géométrie 
élémentaire non euclidienne, en imposant à l’opération métrique adoptée 
des conditions particulières, par exemple l’homogénéité et l’isotropie 
de l’espace, ou encore un caractère particulier du groupe des mou 
vements 259 ). 
255) Cf. F. Klein (qui ici se rattache à K. G. Chr. von Staudt), Math. Ann. 6 
(1873), p. 112; Progr. Erlangen 1872, p. 32; Math. Ann. 43 (1893), p. 63/100. 
256) B. Biemann, Habilitationsschrift 12 ); Abh. Ges. Gott. 13 (1866/7), éd. 1868, 
math. p. 138; Werke (2 e éd.) publ. par H. Weber, Leipzig 1892, p. 277; trad. 
L. Laugel, Paris 1898, p. 286. 
257) Cf. A. Cayley, Philos. Trans. London 149 (1859), p. 82; Papers 2, Cam 
bridge 1889, p. 583; F. Klein, Math. Ann. 6 (1873), p. 127. 
258) Cf. A. F. Môbius, Der barycentrische Calcul, Leipzig 1827, § 161/2; 
Werke 1, Leipzig 1885, p. 194/5; H. Grassmann, Die lineale Ausdehnungslehre, 
Leipzig 1844, Section II chap. 4; Werke 68 ) l 1 , p. 249/81. 
259) Cf. B. Biemann, Habilitationsschrift 12 ), Abh. Ges. Gott. 13 (1866/7), 
éd. 1868, math. p. 134; Werke (2 e éd.), publ. par H. Weber, Leipzig 1892, p. 273; 
trad. L. Laugel, Paris 1898, p. 282; E. Beltrami, Teoria degli spazi di curvatura 
costante [Ann. mat. pura appl. (2) 2 (1868/9), p. 232; L. Schlüfli, id. (2) 5 (1871/3), 
p. 178 [1872]; S. Lie et F.JLngel, Théorie der Transformationsgruppen 3, Leipzig 
1893, p. 393; F. Schur, Math. Ann. 27 (1886), p. 537 et suiv. Cf. n 08 39 à 42.