20. Préliminaires. 
65 
Dans les chapitres suivants nous adopterons la seconde façon de 
procéder. Nous exposerons d’abord les fondements de l’Analysis situe, 
pour envisager ensuite, d’une part la géométrie projective, d’autre part 
la géométrie métrique générale, et aboutir enfin, aussi bien par l’in 
termédiaire de la géométrie projective que par celui de la géométrie 
métrique générale, à la géométrie élémentaire. 
Principes de la théorie du continuum. 
20. Préliminaires. Il conviendrait sans aucun doute de chercher 
à établir les principes de la théorie du continuum sans faire appel 
à des considérations étrangères à la géométrie 260 ), mais jusqu’ici on a 
plutôt essayé de rattacher ces principes à des notions analytiques 
comme celle de la représentation des lignes et des surfaces [cf. III 2] 
ou à la théorie des ensembles [cf. II 2]. 
Cependant, dans quelques-unes de ses recherches, G. Cantor 261 ) 
a abordé directement l’étude de quelques questions concernant le con 
tinuum 262 ). 
Quoi qu’il en soit, pour édifier actuellement une théorie du con 
tinuum il est indispensable de rappeler un certain nombre de résultats 
empruntés à d’autres théories; 
I o ) C’est d’abord la possibilité, démontrée par G. Cantor, de faire 
correspondre d’une façon biunivoque [que nous avons nommée parfaite 
(I 1, 2)] les points d’un segment de droite donné (и) aux points d’un 
carré donné (x, y), et cela, comme l’a montré G. Peano, aussi bien 
à l’aide de fonctions continues non univoquement réversibles qu’à l’aide 
de fonctions continues univoquement réversibles 
У ^ f2i u )• 
2°) C’est ensuite l’impossibilité d’établir entre deux variétés 
(aq, . . .. &’„,), (i/i, У2? • • •? Уп) 
d’ordres m et n, où m et n sont plus grands que un et où m est 
différent de n, une correspondance biunivoque et continue 263 264 ). 
3°) C’est aussi le théorème de G. Jordan™): Toute courbe plane 
fermée 
®=9>(0* 
260) F. Enriques, Rend. Cire. mat. Palermo 12 (1898), p. 222. 
261) Math. Ann. 46 (1895), p. 481. 
262) ^Depuis la constitution de la géométrie non-archimédienne [n oa 46 à 52J, 
une orientation différente a été imprimée à ces recherches.* 
263) Pour ce qui concerne les résultats (I o ) et (2°) voir I 7, 2. 
264) Cf. III 2, 8. 
Enoyolop. des scienc. mathémat. III 1. 
5