EXAMEN BES CAS BE CONVERGENCE. 
convergente entre les limites a et x, commençait à devenir divergente 
à l’instant où x, en s’éloignant de a, atteint une certaine valeur b, et 
si, par conséquent, pour x— b, la valeur du terme R„, dans (5), ne 
tendait plus vers zéro quelque grand qu’on prît/i, l’intégrale R n dx 
n 
pourrait encore, à ce moment, ne pas cesser de tendre vers zéro, ou, 
autrement dit, la série constituant le second membre de (7) pourrait 
être encore convergente et représenter l’intégrale / f(x)dx. En 
a 
effet, lorsque la limite supérieure x, supposée déjà très voisine de b, 
atteint celte valeur extrême b, l’intégrale / R n dx, d’abord insen 
sible (comme on vient de voir), ne s’accroît que d’un nombre relati 
vement minime d’éléments, dont la somme peut bien s’annuler à la li 
mite n rrzoo quand même le facteur R„ y dépasserait toute grandeur. 
Si, par exemple, f{x) reste fini pour x — b, et que, à cet instant, 
la somme u 0 -+- H- a 2 -h.. . 4- u n , sans être convergente, ne grandisse 
pas indéfiniment avec n, en sorte que l’excès R„ de f{x) sur cette 
somme soit constamment inférieur, en valeur absolue, à un certain 
nombre K quelque grand qu’on prenne n, tous les éléments R n dx dont 
il s’agit ici seront moindres que K dx et auront leur somme plus faible 
que la somme fKdx, laquelle s’évanouit à la limite, l’accroissement 
total fdx éprouvé par x y étant aussi faible que l’on veut lorsque n 
devient assez grand. Ainsi, dans ce cas, qui se présente quand, pour 
x=.b, la somme u 0 + WjH- a 2 -\- ... devient divergente sans croître 
indéfiniment, la série intégrale (7) reste encore applicable à l’instant 
précis où la série différentielle commence à ne l’être plus, et sa valeur 
b 
finie égale f{x)dx. 
On peut en dire autant, pourvu que l’intégrale à évaluer 
X 
f{x)dx reste finie à la limite x ~ b, dans la plupart des cas où la 
a 
série u 0 h- u x -4- -t-. .. devient infinie à cette limite. Tel est, 110- 
ont toutes même signe et grandissent (en valeur absolue) à mesure 
que x s’éloigne de a pour s’approcher de b. Alors, en effet, leur 
somme grandit aussi, mais dans un rapport restreint, puisqu’elle 
,.r 
admet la limite supérieure constamment finie / f{x)dx\ et l’on