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ÉVALUATION D’UNE INTÉGRALE DÉFINIE, EN SÉRIE 
/ X 
f{x)dx 
r b 
ne soit inférieur à / f{x)dx que d’une très petite quantités, d’autre 
d a 
part, choisir en même temps n assez grand pour que la somme 
Ç u () dx -f- f î/j dx -f- ...h- f u n dx atteigne presque sa valeur 
* a a ' y n 
/ Oi 
f{x)dx, correspondant à n infini. Gela posé, si l’on fait 
’ 
tendre x vers h sans que n varie, cette somme de n 1 termes gran 
dira, mais en se maintenant constamment plus petite que / f{x)dx, 
^a 
c’est-à-dire d’une fraction seulement de l’intervalle, comparable à s, 
r h 
existant entre sa valeur primitive et / f{x)dx. Donc, pourvu qu’on 
' (I 
X 
ait pris n assez grand, la somme considérée / u 0 dx-{-... -f- / u n dx 
a a 
/ x 
f{x)dx, même à la limite x ~ b. 
C’est dire qu’à ce moment la série (7) est encore convergente et a pour 
r b 
valeur totale / f{x)dx. 
2G4. — Cas d’une série ordonnée suivant les puissances ascendantes 
de la variable. 
Supposons, par exemple, que l’intégrale à calculer soit / f{x)dx, 
d0 
et que, dans tout le champ d’intégration, f{x) puisse être développée, 
par la formule de Maclaurin, en une série de la forme 
( 8 ) f(x)= A 0 H- -i- A 2 a7 2 H- .. .-4- A/j-jir"- 1 -1- A n x n - J r -. . ., 
où nous admettrons que le rapport de deux coefficients consécutifs, 
A 
t—tende vers une certaine limite 1 à mesure que n grandit. Le rap- 
A-71— 1 
port, dans la série, d’un terme au précédent tendra en même temps 
vers la limite Ix, plus petite que l’unité (en valeur absolue) toutes 
les fois que x se trouvera compris entre les deux valeurs extrêmes 
zp ^ • Par suite, dans l’intervalle de ces deux valeurs, le développe-