VALEURS MOYENNES DES FONCTIONS.
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269*. — Transformation montrant la proportionnalité inverse de l’inté
grale elliptique complète de première espèce à la moyenne arithmé-
tico-géométrique de Tunité et du module complémentaire.
(Compléments, p. 87*.)
270* — Des fonctions elliptiques; théorème d’Euler sur les sinus
et cosinus elliptiques d’une somme.
(Compléments, p. 4 1 *-)
271*. — De la double périodicité des fonctions elliptiques.
(Compléments, p. 48*).
272. — Applications analytiques des calculs d’intégrales définies ;
valeur moyenne (arithmétique) d’une fonction.
On a déjà vu, par la formule de Wallis, et par les développements
de log(i±ai), de arctang#, arcsin^r, etc., que le calcul des inté
grales définies comporte d’importantes applications analytiques. Mais
il y a encore, même sans entrer dans les domaines de la Géométrie et
de la Mécanique ou de la Physique, d’autres applications non moins
intéressantes de ce calcul. Telle est, par exemple, la détermination
de la valeur moyenne d’une fonction.
Étant donnée une fonction, f(x), d’une variable x que l’on fait
croître depuis une certaine limite x — a jusqu’à une autre limite
x—b, on appelle valeur moyenne de cette fonction, dans l’inter
valle b — a considéré, la moyenne des valeurs qu’elle prend pour
des valeurs de la variable se succédant à intervalles égaux infi
niment petits depuis a jusqu’à b. Pour l’exprimer, nommons x 0 la
valeur initiale a de x, x n sa valeur finale b, et, ayant partagé la
différence b — a en un nombre très grand n de petits intervalles
égaux, que nous pourrons désigner par \x, intercalons entre «
et b les valeurs successives x i = x 0 -\-bx, x%= x 0 -+- zAx, .. .,
x n _i— x 0 -\- {n — 1)Ax, qui forment, avec x 0 =a et x n =b, une
série de termes équidistants. Les n valeurs de la fonction correspon
dant aux n premiers de ces termes ont évidemment pour moyenne
•f~. ,r °/f x 1 ) ; • • ' ) ou pi erij en multipliant haut et bas
n
par Ax et observant, d’une part, que Ax est l’accroissement commun
A^ 0 =r x x — x 0 , Ax t = x % — x u . .d’autre part, que nAx égale l’ac-
