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88 CALCUL DE LA VALEUR MOYENNE D’UNE FONCTION ;
croissement total, x n — x 0 ou b — a, de x,
f ( X n ) AXq -h f(xi )A:V 1 (X% ) "+■ • • • ' f {x n —x) Ax n ^\
Si, actuellement, nous rapprochons les valeurs de f{x) considérées,
en faisant croître à l’infini leur nombre n, la limite vers laquelle
tendra cette fraction sera justement la valeur moyenne demandée;
et, comme la somme f{x 0 )Ax 0 -\-f{x i )Ax 1 -+-. . . -+-f{x n _ x ) Ax n _ l de
viendra l’intégrale définie f{x 0 )dx 0 -pf{x l )dx 1 H- ... -+-f{x n _ l )dx n _ i
ou / f{x)dx, parfaitement déterminée, on aura
a
i r h
(45) Valeur moyenne de f(x)= y / f(x)dx.
^ ’ n
Le calcul de la valeur moyenne de f{x) dans un certain intervalle
se ramène donc à celui de l’intégrale ff{x)dx prise dans le même in
tervalle; et celle-ci, à l’inverse, est elle-même le produit de l’inter
valle b — a des limites par la valeur moyenne def(x). En d’autres
termes, la fonction figurant sous un signe f peut y être remplacée
par sa valeur moyenne entre les limites de l’intégration.
273. — Exemple : valeurs moyennes de sin" 1 a? et de cos'"a;, où l’exposant m
est supposé entier et positif.
Cherchons, par exemple, la valeur moyenne des fonctions sln m x,
cos m x, où nous admettrons que m soit un exposant entier positif et
où nous supposerons x variable de — go à 00. Comme sin a? et cosæ
reprennent leurs valeurs primitives lorsque x croît de 2tc, en sorte
que leurs valeurs individuelles se retrouvent les mêmes dans tous
les intervalles d’étendue 2iz commençant par n’importe quelle valeur
de x, leurs valeurs moyennes seront aussi, évidemment, les mêmes pour
toutes ces périodes 2 tt, et, par suite, pour un intervalle b — a composé
d’un nombre indéfiniment croissant de périodes. On pourra même, à
cet intervalle b — a très grand, ajouter une fraction quelconque de
période sans modifier sensiblement le résultat; car le quotient, par
b — a, des intégrales f sin m xdx, f cos m xdx, prises pour la fraction
proposée de période, sera infiniment petit. Donc la moyenne générale
des valeurs de sin" 1 x et de cos m x, ou moyenne calculée pour toutes
les valeurs réelles de x depuis —-00 jusqu’à -h 00, pourra s’évaluer en
ne considérant qu’un intervalle égal à 2tt. Et comme même la fonc
tion cosa?, identique à sin
I, prend à chaque instant la valeur