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APPLICATION AUX PUISSANCES ENTIÈRES DE COSii? ET DE SINÆL 89 
que recevra le sinus, un quart de période après ou quand x aura 
grandi de - ■> les mêmes éléments entreront dans l’expression des deux 
moyennes, qui, dès lors, ne peuvent différer l’une de l’autre. Il suffit 
donc d’évaluer celle de sin"*^, en y faisant varier x de zéro à 2-7:. 
Or, si l'exposant m est impair, la fonction sin 77î .r recevra, dans la 
seconde moitié de l’intervalle, c’est-à-dire de x — iz à x — 2-rc, des 
valeurs égales et contraires à celles qu’elle avait eues dans la pre 
mière moitié, puisque sin# et, par suite, sin 771 # changent de signe 
quand x croît de ir. Donc l’expression de la moyenne contiendra des 
éléments négatifs en même nombre et de même valeur absolue que 
ses éléments positifs : elle sera nulle. Si, au contraire, l’exposant m 
est pair, sin" l .r aura toujours le signe plus; et la seconde moitié de 
l’intervalle total, comprise entre x — iz el x — 2-k, reproduira exac 
tement les mêmes valeurs que la première moitié; en sorte qu’il suf 
fira de considérer celle-ci, c’est-à-dire de prendre la moyenne de 
sin 77î 3? pour x croissant de zéro à ir. Mais la fonction sin 777 ,# y recevra 
encore deux fois les mêmes valeurs; car, de x — — à x — tt, elle re- 
2 
devient symétriquement ce qu’elle était entre x — L elx=o. Donc, 
en définitive, il suffira de faire variera? depuis zéro jusqu’à —j et l’on 
posera, dans la formule générale (45),f{x) = sin m x, a = o, b — 
TZ 
Il en résultera, pour la moyenne cherchée, l’expression - f sin" l xdx, 
K ^ 0 
égale au produit ~ 7 • • • m m ~~ ’ d’après la formule (11) [p. 60] de la 
dernière Leçon. 
En résumé, La moyenne des valeurs de sin 777 x ou de cos" l x, m dé 
signant un exposant positif et entier, est toujours commensurable : 
„ r , , 1 3 m — 1 
nulle, quand cet exposant se trouve impair, égalé a - - • • • —? 
quand il est pair. 
Dans le cas particulier m — 2, elle se réduit à |. Donc, la valeur 
moyenne des carrés sin 2 a? ou cos 2 a? est |, simple moyenne arithmé 
tique de leurs valeurs extrêmes zéro et 1. C’est ce qu’on aurait pu 
prévoir, en observant que sin 2 x et cos 2 x, exprimés en fonction de 
cos2a?, deviennent respectivement | qr cos 2 ¿î? et se réduisent, en 
moyenne, au terme constant |, car leur autre terme, proportionnel à 
cos2a?, est aussi souvent el autant négatif que positif. On l’aurait