VINGT-SIXIEME LEGON.
O
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES INTÉGRALES DÉFINIES ;
QUADRATURE DES AIRES PLANES ET RECTIFICATION DES COURBES.
276. — Expression générale d’une aire plane.
Passons actuellement aux nombreuses et importantes applications
des intégrales définies à la Géométrie : la plus simple est la quadra
ture des surfaces planes, c’est-à-dire l’évaluation de leur aire Q * 1 ) ou
( 1 ) Note sur la notion d'aire.
Jusqu’à ces derniers temps, les auteurs d’Analyse ne paraissaient pas avoir
senti le besoin d’éclaircir, en la dégageant de son fond obscur, cette notion d’aire,
dans laquelle se résout et s’exprime notre sentiment presque instinctif de la con
tenance ou de l’étendue des figures à deux dimensions, quoiqu’ils eussent, cepen
dant, jugé nécessaire d’analyser l’idée, bien moins complexe, de la longueur des
courbes, ou celle de la mesure analogue des surfaces courbes en unités planes.
Voilà pourquoi je me propose de suppléer ici, du moins par une note que l’on
pourra, si Ton veut, laisser de côté, à cette lacune réellement assez grave, en
montrant que Taire d’une figure plane limitée en tous sens est une quantité dé
terminée, indépendante de l’orientation de la figure par rapport aux cotés du
réseau de carrés que Ton y trace.
J’aurai : i° à définir Taire d’une surface; 2° à montrer qu’il est possible d’ob
tenir cette aire par décomposition de la surface en éléments de forme quel
conque, dont il suffit d’ajouter les aires partielles évaluées comme pour des
figures de même forme et de dimensions finies; 3° à prouver l’invariabilité de
Taire totale, lors de déplacements quelconques de la surface par rapport aux axes
coordonnés.
1. Définition de l’aire. — Imaginons que la figure plane proposée AMBM'A
(p. 92) soit rapportée à un système d’axes rectangulaires Ox, O y, et qu’on divise
son plan, par des parallèles indéfinies aux axes coordonnés, en carrés ayant pour
coté l’unité de longueur, puis, tous ces carrés eux-mêmes, au moyen de paral
lèles équidistantes de plus en plus rapprochées, en carrés incomparablement plus
petits. Le rapport du nombre de ceux-ci compris dans la figure proposée, au
nombre des carrés pareils que contiendra un carré de côté égal à 1, tend vers une
limite à mesure que les parallèles se rapprochent de plus en plus; et c’est juste
ment cette limite, dont nous allons démontrer l’existence, qui est dite l’aire de
la figure.
Soit bx le côté des petits carrés considérés; et, si x est l’abscisse d’une quel-
