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REDUCTION DE TOUTE AIRE PLANE A UNE INTÉGRALE DÉFINIE. 
pour côtés contigus à celui-là deux éléments rectilignes égaux et pa 
rallèles à mn = dx, inclinés, par suite, comme Taxe des x, de l’angle y 
par rapport à l’ordonnée mM, enfin, dont le quatrième côté serait 
situé sur /¿N. Effectivement, les deux petites parties, en forme de 
triangles mixtilignes, qu’il faudrait ajouter ou retrancher, l’une, 
en MN, l’autre, en M'N', pour faire delà bande M'MNN' le parallélo 
gramme en question, ont une dimension, dx, qui leur est commune 
avec celui-ci, mais l’autre dimension (suivant N'N), infiniment petite 
en comparaison de la dimension analogue M'M du parallélogramme; 
de sorte que leur aire se trouve bien négligeable devant Faire du pa 
rallélogramme. Celle-ci égalant, comme on sait, le produit de deux 
côtés contigus, F(x), dx, par le sinus de l’angle y qu’ils comprennent, 
l’expression de la bande M'MNN', c’est-à-dire d’un élément de la sur 
face à évaluer, sera (sin ■'¡)F {x)dx. 
Par suite, Faire totale AM B M'A, composée des aires de toutes les 
bandes pareilles entre a A et pB, sera la somme des valeurs prises 
successivement par le produit (sin y) F (x)dx quand x y varie avec con 
tinuité depuis l’abscisse, a, du point A jusqu’à celle, b, du point B; 
n faisant 
a 
sortir du signe f le facteur constant siny, on aura donc, pour l’expres 
sion cherchée de la surface AMBM'A, 
(i) 
a 
c’est dire que son évaluation reviendra au calcul de l’intégrale définie 
b 
F ( x ) dx. 
a 
277. — Premier exemple : Aires de l’ellipse et des parallélogrammes 
(à côtés conjugués) qu’on lui circonscrit. 
Comme premier exemple, cherchons la surface que comprend une 
ellipse ABA'B'A, rapportée à un système de demi-diamètres conju 
gués OA ~ a, OB r= b, choisis, le premier, pour axe des x, le second, 
pour axe desjp. 
L’équation de la courbe étant, comme on sait, — -+- ~~ = i, les deux 
a' 2 b' 2 
ordonnées mM, mM' qui correspondent à une abscisse quelconque 
O in =x, ont respectivement pour valeurs ± - \Ja 2 — x 2 . Leur diffé- 
a