i lîtf 41! * 
¡BSgaBSSwSSmi—ii.MMinu'inaiwitfMH»— 
102 QUADRATURE DES SURFACES PLANES : AIRES LIMITÉES 
coordonnées positives, supposer la branche PABQ, qu’il s’agit de 
considérer, située du côté des x positifs, et avoir aussi y > o pour 
x ~y> o, c’est-à-dire a positif. L’ordonnée y décroissant, d’après (8), 
depuis l’infini jusqu’à zéro, quand x grandit de zéro à l’infini, la 
branche PABQ de courbe se raccorde asymptotiquement, ou à une 
distance infinie de l’origine, aux deux axes des x et des y po 
sitifs. 
Gela posé, soit à évaluer l’aire comprise entre la courbe, l’axe des x 
et deux ordonnées, A'A, B'B, ayant respectivement les abscisses x 0 , x. 
La formule générale (i) deviendra 
(9) 
/ i X ^ OC 
ydx = asmq I x~ n dx. 
S’il ne s’agit pas d’une hyperbole ordinaire et qu’on ait, par 
X 
' x~ n dx vaudra 
r 0 
t / — t \ x T / i x \ 
( ~yîi = T — -Z7,Zî ) ; et l’aire restera finie, pour 
. ou — 
B-1 n 
devenir finalement 
r—: y quand on rendra infinie l’abscisse x 
(n — i)^o 1 
deB'B, en rejetant ainsi l’ordonnée B'B à l’infini où elle s’annule. Or 
cette valeur limite, si l’on appelle y 0 l’ordonnée initiale A'A, quotient 
de a, d’après (8), par x", pourra s’écrire plus simplement a 0, ^° - n - '■ ■ 
Elle égalera donc la (« —i) ième partie du parallélogramme O A'AK 
construit sur les côtés OA'nz x n , A'A; 
(io) Aire AA'ip(de longueur infinie) 
= y 0 ; et i on ; 
Aire O A'A K 
(pour n >1). 
Donc, quand Vexposant n est supérieur à Vunité, la surface de 
longueur infinie comprise, au delà d'une ordonnée AA', entre la 
courbe AQ et son asymptote choisie pour axe des abscisses, égale 
seulement le produit, par le facteur constant ■—-— , du parallélo 
gramme OA'AK qui a pour un de ses côtés cette ordonnée et dont 
le côté opposé est sur Vasymptote parallèle. 
S’il s’agit, au contraire, d’une hyperbole du second degré, la for 
mule (g), où il faudra faire n — i, donnera de suite 
(i i) Aire AA'B'B = a sin Y(loga?)£ 0 = a sin-y loi 
x 0 
(pour n — i).