PAR DES ARCS HYPERBOLIQUES.
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L'expression de Vaire n’est plus algébrique, mais transcendante,
et sa valeur se trouve proportionnelle au logarithme népérien du
rapport des deux abscisses extrêmes OB', OA'.
C’est parce que les logarithmes népériens sont ainsi représentés
graphiquement par des aires hyperboliques, qu’on leur donne quel
quefois le nom de logarithmes hyperboliques.
Si l’on fait croître x indéfiniment, le logarithme de son rapport
à x 0 devient infini, et la surface AA'B'B ne tend plus vers une limite
à mesure que sa longueur augmente. La raison en est que, pour n~ i,
les ordonnées telles que B'B, étant inversement proportionnelles à la
première puissance seulement de l’abscisse et non à une puissance
plus élevée, finissent par décroître, à mesure que leur abscisse aug
mente, infiniment moins qu’elles ne faisaient tant que n était supé
rieur à l’unité : la hauteur des parties de la surface infiniment éloi
gnées de l’origine et, par suite, ces parties mêmes ont donc crû,
comparativement, dans un rapport infini.
¿80. — Quatrième exemple : aire comprise entre un arceau de cycloïde
et sa base.
Une décomposition en bandes par les normales successives de la
courbe, comme on le fait pour le cercle dans la Géométrie élémen
taire, nous a déjà (T. I, p. 226) fait très simplement connaître la
surface comprise entre un arceau de cycloïde et sa base. Mais il est
bon de la déduire aussi, par la formule (1) [p. 96], d’une décompo
sition en bandes parallèles ydx de largeur uniforme.
Adoptons pour axe des x la base de l’arceau et comme axe des y la
tangente au point de départ de celui-ci, de manière à avoir pour la
J /-» TU/’
f ydx, r désignant le rayon
0
du cercle générateur, et l’intégration s’étendant depuis l’abscisse x = o
de l’origine jusqu’à celle x — r^r du sommet. Cette expression, si
l’on y remplace dx par sa valeur tirée de l’équation différentielle de
la courbe [t. I, p, 226, formule (4)] dx — ? et si l’on prend
v —y
pour variable indépendante l’ordonnée y, qui y croît de zéro à 2r,
devient f -—===• Après l’avoir doublée, intégrons-la par parties,
^0 V*r—y