QUADRATURE DES SURFACES PLANES : ARCEAU DE CYCLOIDE, ETC.
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en observant que
1 Jd 7===-
\ = — 2 7 2 ~y + 3 Ç\/%r — yy*dy
= — 3 f s/'iry —y 2 dy,
et que le terme intégré —ly^sjir—_y s’annule aux deux limites.
Nous aurons
Z' 2 '’
(12) Aire de la cycloïde =6 / y'iry-—y % dy.
do
Or \J2ry — y* 1 , ou \Jr % — (y — r) 2 , exprime les ordonnées d’un demi-
cercle, décrit sur la hauteur 2r de la cycloïde comme diamètre, et
dans lequel on prendrait pour abscisses les y comptés de zéro à ar,
depuis le milieu de la base jusqu’au sommet de l’arceau. Par suite.
r 2 '’
l’intégrale J \] 2r y —y 2 dy représente l’aire ^tz de ce demi-cercle;
et il vient bien, pour la surface d’un arceau de cycloïde, la valeur Stt/’ 2 ,
ou trois fois l’aire du cercle générateur de la cycloïde, comme on a
vu (t. I, p. 226).
281*. — Cinquième exemple : aire comprise sous le profil longitudinal
d’une onde solitaire ; relation entre l’ordonnée de ce profil et les deux
aires partielles qu’elle délimite.
(Compléments, p. 54*-)
282. — Représentation des intégrales définies, par des aires.
Si l’évaluation d’une aire plane revient à calculer uue certaine in
tégrale définie, à l’inverse, toute intégrale définie, / f{x)dx, sera
a
graphiquement représentée par la surface plane comprise entre un
axe horizontal des x, deux ordonnées verticales ayant pour abscisses
respectives x — a, x = h, et la coui’be dont l’équation est, en coor
données rectangulaires, y — f{x). En effet, les ordonnées successives
de cette courbe découperont l’aire considérée en bandes étroites,
ayant pour longueur ces ordonnées y=f(x), pour largeur la di
stance dx de deux d’entre elles et, par suite, pour surface, le produit
[pris en valeur absolue]c’est-à-dire les divers éléments de l’in