AIRE REPRÉSENTATIVE D’UNE INTÉGRALE DÉFINIE. 
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tégrale donnée. On voit seulement que, pour la parité de signe de 
ceux-ci aux bandes élémentaires, et, en conséquence, pour l’exactitude 
r b 
complète de la représentation de l’intégrale / f{x)dx par la surface 
n 
totale comprise, depuis l’abscisse a jusqu’à l’abscisse h, entre la courbe 
et l'axe des x, il faudra convenir de regarder comme négatives les 
aires qui correspondront à des éléments f(x)dx négatifs. Si donc x 
grandit sans cesse en allant de a à b, comme il arrive presque tou 
jours, les aires élémentaires f{x)dx devront être comptées positive 
ment ou négativement, suivant que les ordonnées correspondantes 
y—f(x) seront elles-mêmes positives ou négatives; et, par consé 
quent, en admettant, pour fixer les idées, que l’axe vertical des_y soit 
dirigé vers le haut, l’intégrale égalera l’excédent des parties de l’aire 
comprise entre la courbe et l’axe horizontal des x, qui se trouveront 
au-dessus de cet axe, sur celles qui seront au-dessous. 
Voyons, par exemple, quelle est la surface propre à représenter 
l’intégrale définie / e~ ax sin bxdx, où a est une constante positive 
d 0 
et où nous supposerons le coefficient b également positif. Ici, x grandit 
de zéro à l’infini et, d’autre part, la courbe y — e~ ax sin^^c, qui serait 
une sinusoïde sans la présence du facteur positif décroissant e~ ax . ne 
différera d’une sinusoïde qu’en ce que les ordonnées successives \y se 
ront réduites de plus en plus, dans le rapport finalement évanouis 
sant e~ ax . Il est évident que, sans cette réduction, tous les arceaux, 
OSA, AS'B, BS"C, . . ., qui ont bases égales, auraient aussi même 
hauteur, même forme et même aire absolue (comprise entre eux et 
Fig. 48. 
U 
l’axe des x) ; de sorte que, leur signe se trouvant alternativement po 
sitif et négatif, comme celui de leurs ordonnées, l’intégrale exprime 
rait une somme d’aires égales et contraires, qui ne tendrait vers aucune 
limite déterminée. Mais, comme les hauteurs des arceaux vont en 
décroissant et que, par suite, de deux bandes ydx ayant même lar 
geur dx avec des abscisses différant d’une longueur d’arceau, la pre-