RECTIFICATION DES COURBES : FORMULE GENERALE. 
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283*. — Expressions générales d’une aire plane, en fonction des coor 
données successives d’un point mobile qui en décrit le contour, et de 
leurs différentielles. 
281*. — Application à une orbite unicursale; aire du folium de Descartes. 
(Compléments, p. 5g*.) 
285*. — Évaluation des secteurs plans; signification des cosinus et sinus 
hyperboliques d’un double secteur d’hyperbole équilatère. 
(Compléments, p. 61*.) 
286. — De la rectification des courbes : formule générale. 
La rectification d’une courbe, c’est-à-dire son déroulement ou sa 
transformation en une droite équivalente, consiste, au jaoint de vue 
analytique, à calculer la longueur d’un arc quelconque de celte 
courbe. 
Ap rès avoir choisi trois axes rectangulaires des x, y, z, donnons- 
nous, sous la forme y — f{x), z~o{x), les deux équations de la 
branche déterminée de courbe dont il s’agira d’évaluer un arc, et 
soient a, b les abscisses des deux extrémités, ou supposons que x 
croisse, le long de l’arc, depuis a jusqu’à b. Nous savons que les élé 
ments cls de l’arc admettront l’expression générale \Jdx--1- dy 2 dz 2 , 
c’est-à-dire \i 1 -hy ,2 -t- z'-dx ou y/i-h/'(x) 2 -\- f{x) 2 dx. Donc l’arc 
cherché lui-même sera évidemment donné par la formule 
et il y aura, pour l’obtenir, à effectuer la même intégration que si 
l’on demandait la surface comprise, dans l’intervalle des deux ab 
scisses a, b, entre l’axe de ces abscisses x et la ligne plane dont l’or 
donnée égalerait \J 1 -h/' {x)- -h cp' (¿c?)-. 
Quand la courbe proposée se trouve dans le plan des xy ou seule 
ment parallèle à ce plan, la fonction z — <p (x) est constante et l’expres 
sion à intégrer devient simplement \J\ f'{xYdx. 
Comme nous avons déjà, dans le Tome I, en appliquant la deuxième 
propriété générale des développées, rectifié plusieurs courbes impor 
tantes qui sont les développées d’autres courbes connues et, notam- 
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