APPLICATION AUX ARCS DE PARABOLE ET AUX ARCS D’ELLIPSE. 
109 
Transposons le troisième terme clans le premier membre, pour le ré 
duire avec celui qui s’y trouve déjà, et rappelons-nous que l’intégrale 
/ doc f* doc y ^ 
- > de la forme / -, 5 a été obtenue (p. 5o). En divi- 
//? 2 -t-a?» J y/A 
sant par 2 et intégrant enfin à partir de la limite zéro, il viendra 
\Jp - -1- x 2 dx 
V/>' 2 
~ Dogi 37 + 'Jp 2 +x*) — log/?] 
P 2 
p 
Cette valeur, substituée dans la formule (28), donnera donc, pour 
l’expression cherchée d’un arc de parabole, 
V/? 5 
(24) 
ip 
loi 
\J P 2 
X % 
P 
X / X 2 
.pV 1 "p 2 + 
V- 
On voit que la parabole ordinaire n’est rectifiable sous forme finie 
que par l’emploi de la fonction logarithmique, et non algébriquement. 
288. — Rectification de l’ellipse. 
Soit actuellement à évaluer, dans une ellipse rapportée à son grand 
axe 2 a et à son petit axe 2 b pour axes respectifs des abscisses x et 
des ordonnées/, un arc s inférieur à un quart du périmètre total, et 
compté à partir d’une extrémité du petit axe, jusqu’à un point dont 
on donne, entre —a et a, l’abscisse 37. De l’équation de la courbe 
——p v-— 1, différentiée, il résultera y’ — — et, par suite, 
✓y-2 b ï ’ ’ j a*y 1 
ds 
V1+/- ou Tr. = 
a* y 2 
b^x* 1 
Substituons à a 2 / 2 , sous le radical, 
dx \ a'*y 
la valeur b 2 {a 2 — x 2 ) tirée de l’équation de la courbe, ce qui, après 
^ ¿>2 ^ QC^ 
suppression de b 2 haut et bas, donne — D —^ ^. 2 '— 
et 
rappelons-nous cj[ue \Jd 2 —- b 2 exprimelademi-distancefocale c,produit 
du demi grand axe a par l’excentricité e de l’ellipse. On peut donc 
ds , 
remplacer a 2 — b 2 par a 2 e 2 ; et la valeur du rapport ^ est enfin, après 
la suppression, haut et bas, du facteur commun a 2 , ~ 
a 2 — e 2 x 2 
x i 
Donc, chaque élément ds de l’arc égale le produit de cette dernière