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EXPRESSION APPROCHEE, POUR LA LONGUEUR DE TOUTE ELLIPSE 
Toutefois, si l’on suppose le carré e- de l’excentricité assez petit 
pour que sa quatrième puissance e 8 soit insensible à côté de l’unité, 
ou pour que les séries, dans (28), (29) et (3o), puissent être réduites 
à leurs quatre premiers termes, ces formules donneront 
(3i) 
3 e' 
d’où l’on conclura 
3[S — т:(а -b 6)] = S — 2-ir \Jab (sensiblement) 
et, par suite, 
(3a) 
Si même on pouvait négliger une erreur absolue par défaut égale à 
3 e 2 
izae'* 
-—- i i q j, ou (vu que S ne diffère pas beaucoup de 27-a) une 
I 
4 
TC etc* 
erreur relative valant à peu près le quotient de • - par 21«, c’est- 
à-dire la soixante-quatrième partie de la quatrième puissance de 
l’excentricité, le contour de l’ellipse serait sensiblement, d’après la 
première formule (3i), la moyenne arithmétique des deux circonfé 
rences circonscrite et inscrite. 
Mais, en s’en tenant à la formule (32) beaucoup plus approchée, 
quoique encore fort simple, l’erreur (par excès) ne deviendra sen 
sible que dans le cas d’ellipses très excentriques : car, même pour 
e — sinyS 0 — o, 9669 ou pour ^ — cosyS 0 “ o, 2588, elle n’atteint pas 
la cent-cinquantième partie du résultat, comme on le reconnaît par 
comparaison avec la valeur exacte 4<^E 1 (e) = 4^E 1 (sinyS 0 ) calculée 
au moyen du Tableau de la page 86 ; et, pour e — sinyo 0 — 0,9897 ou 
pour ^ — o, 3420, elle n’est que les o,oo3 de S. Pour e=zsin8o° = 0,9848 
|ou ^ ^=0,1706^, l’erreur s’élève au soixante-huitième environ de S 
et commence, on le voit, à n’être plus négligeable dans des applica 
tions ordinaires. Quand l’excentricité e est petite, on s’y rend compte 
de l’approximation, en évaluant, jusqu’aux termes affectés de e 8 in 
clusivement, le second membre de (32), qui n’est autre chose que 
le demi-excédent de trois fois le second membre de (29) sur le