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INVARIABILITÉ D’üN VOLUME, QUAND ON CHANGE D’AXES. Il5 
Soit ARSTB (p. 116) un corps quelconque, rapporté à un système 
d’axes rectilignes 0.2?, 0/, Os, dont le premier, 0.2?, fait avec le plan 
yOz des deux autres un angle connu o, complémentaire de celui, 
proposera d'évaluer le rapport du nombre de ces cubes au nombre des cubes pareils 
contenus dans le cube fini qui a son arête égale à l’unité. Chaque petit cube de lon 
gueur dx comptera donc, dans le rapport cherché, pour la valeur dx 3 , vu que le cube 
dont l’arête vaut i a ses dimensions fois p] us grandes et contient par suite, comme 
on sait, un nombre de petits cubes exprimé par 
Deux plans consécutifs 
quelconques perpendiculaires à Ox, tels que le plan MNQ, dont l’abscisse OQ égale 
x, et celui d’abscisse x -f- dx, comprendront entre eux, à l’intérieur du corps pro 
posé, sensiblement autant de cubes, d’arête dx, qu’il y aura de carrés dx 2 décou 
pés, par les plans normaux aux y et aux z, dans la section RST suivant laquelle 
le plan MNQ intersecte le solide. Le nombre de ces petits cubes égalera donc, 
sauf erreur relative négligeable, le quotient de l’aire z de la section RST par 
l’aire dx 2 de l’un des carrés; et leur valeur totale, produit de fiLc 3 par leur nombre 
sera zdx. Or il est clair que cette section faite dans le solide donné parle 
plan MNQ se trouve parfaitement déterminée dès que l’on connaît l’abscisse OQ = x 
du plan, en sorte que son aire <7 égale une certaine fonction, f {x), de x. Ainsi, les 
cubes élémentaires contenus entre les deux plans consécutifs qui ont les abscisses 
x, x -f- dx, entreront dans la somme à évaluer pour la part f{x)dx) et il est 
clair que, si x 0 , x, désignent la valeur la plus petite et la valeur la plus grande 
reçues par l’abscisse x dans tout le corps, l’expression totale indiquant le rap 
port du nombre des cubes infiniment petits qu’il comprend, au nombre des cubes 
pareils contenus dans le cube d’arête i, sera l’intégrale définie 
/-• x i 1 
/ zdx— I f{x)dx. 
.ra 
Ce rapport est donc une quantité parfaitement déterminée : on l’appelle le volume 
du corps. 
On verra, en procédant comme dans la note citée (p. g3), que le rapport limite 
ainsi défini s’obtiendrait également par la décomposition du solide donné en par 
ties quelconques, lesquelles s’évalueraient chacune isolément, et dont il suffirait 
d’ajouter ensuite les valeurs. Enfin, après avoir démontré que des solides égaux, 
pareillement orientés, ou même leurs symétriques par rapport aux plans coor 
donnés, s’équivalent, comme ayant leurs volumes exprimés par des intégrales 
dont les éléments zdx sont en môme nombre et respectivement égaux chacun à 
chacun, on reconnaîtra qu’un déplacement quelconque, imprimé à un corps donné 
et à une sphère liée à ce corps, ne fait pas varier le rapport de leurs volumes, 
vu que des assemblages de petits cubes égaux, les remplissant autant que possible 
et entraînés dans leur mouvement, resteront tous pareillement disposés et tou 
jours en même nombre. D’ailleurs, comme aucun changement d’orientation ne 
modifie la manière d’être de la sphère par rapport aux plans coordonnés, ni, par 
suite, l’intégrale appelée son volume, l’intégrale analogue dite volume du corps 
proposé restera, elle aussi, invariable, et sera la même non seulement pour des 
corps égaux quelconques, mais encore pour leurs symétriques. 
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