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VOLUME DE L ELLIPSOÏDE 
des deux derniers OJ3, O y, et soit toujours cp celui qui exprime l’in 
clinaison de O a ou O x sur le plan des yz. 
Ici, la section a faite, dans le corps, par le plan jy'Q,s' parallèle aux 
yz et dont l’abscisse est ¿c, aura pour équation, d’après (5), 
r 
b 2 
x 2 
y 1 
b 4/1 — 
X i r . 
i — — taisant 
On voit que cette section, dont RSTQ représente la partie comprise 
dans l’angle des coordonnées positives, est une ellipse rapportée aux 
demi-diamètres conjugués QR = b 
) de 
nera donc, pour son aire, <r = r x QR X QT x sinRQT, c’est-à-dire 
/ \ 
[Tlbc sin6) ^1 ■— ~ j‘ 
—^.QT=y a . 
entre eux l’angle 6. La formule (3) de la dernière Leçon (p. 97) don- 
(6) 
Portons cette valeur dans (1) [p. 117] et observons que, vu l’équa 
tion (5), les deux limites x Q et x y entre lesquelles varie l’abscisse x 
sont —■ a et + a. Il viendra, grâce à une intégration immédiate, 
(7) 
C a / x 2 \ 
Volume = (nbc sin6 sin©) / ii -\dx 
= (7zbc sinO sincp) I x — -—- Ì =(tibc sinG sincp) ( - 
V à J —Cl \ 0 
Ainsi la formule du volume de l’ellipsoïde est 
(8) Vol. de l’ellipsoïde = Tzabc sinG sin cp = ^ ■ (2a)(2Ô)(2c)sin6 sincp. 
Or le produit (2«)(2Ô)(2c) sinG sincp représente le volume qu’on 
aurait obtenu si, de x — — a à x — a, la section avait été un paral 
lélogramme (26) (2 c) sinG ayant son centre sur le diamètre odot et ses 
côtés respectivement égaux et parallèles aux deux autres diamètres 
conjugués 2 b, 2 c, dirigés suivant O y et 0.£. En d’autres termes, ce pro 
duit exprime le volume du parallélépipède, circonscrit à l’ellipsoïde, 
dont les faces seraient les plans tangents parallèles aux trois plans dia 
métraux conjugués choisis pour plans coordonnés, et dont, par suite, 
les arêtes se trouveraient égales et parallèles aux diamètres conjugués 
suivant lesquels ces plans se coupent. La formule (8) revient donc à 
dire que l’ellipsoïde est la fraction 3; de tous ces parallélépipèdes, ou