mm
m
ET D UN SEGMENT DE PARABOLOIDE ELLIPTIQUE. T20
au terme suivant, si on le compare à la dernière expression (8) du vo
lume d’un ellipsoïde entier, et si l’on observe que, des trois facteurs
2 b
X\ — x 0
2 a
2 C
X\ —- X 0
2 a
? proportionnels à 2«, 2 h, 2 c, le pre
mier est la portion de Taxe des x comprise entre les deux bases du
segment, on verra qu’il exprime le volume d’un ellipsoïde dont trois
diamètres conjugués seraient parallèles à Ox, Oy, Oz et exprimés
par ces trois facteurs, ellipsoïde évidemment semblable au proposé et
semblablement placé, mais que l’on peut supposer inscrit entre les deux
bases d 0 , ïj. Donc, un segment d’ellipsoïde égale., en volume, la
somme d’un cylindre ayant sa base moyenne arithmétique des
deux bases du segment, avec même hauteur que ce dernier, et d’un
ellipsoïde semblable ci celui dont le segment fait partie et sembla
blement disposé, inscrit entre les deux bases du segment.
Quand l’ellipsoïde devient une sphère, cette proposition se réduit
bien à celle que l’on démontre pour le segment sphérique dans les
éléments de Géométrie.
Mais considérons l’autre cas extrême où l’ellipsoïde, au contraire,
s’allonge indéfiniment dans le sens de l’un de ses diamètres, ia par
h2 c 2
exemple, tandis que les rapports —, — conservent deux valeurs finies,
p, q, choisies à volonté. On sait qu’alors, dans le voisinage de cha
cune des extrémités du diamètre 2 a, et jusqu’à toute distance finie de
cette extrémité, l’ellipsoïde dégénère en un paraboloïde elliptique quel-
conque. D’ailleurs, à la limite a —oo, les rapports — , —, ou “>
sont nuis, et b, c deviennent infiniment petits par rapport à a] de sorte
que l’ellipsoïde semblable inscrit entre les deux bases d’un segment
de hauteur finie s’aplatit et s’amincit jusqu’à zéro. Donc le dernier
terme de la formule (ii) s’évanouit à la limite, et cette formule ex
prime alors que le volume d’un segment quelconque de paraboloïde
elliptique égale le produit de la demi-somme de ses deux bases par
leur distance.
Une des bases s’annule quand son plan devient tangent au parabo
loïde, cas oCi la distance de ce plan tangent, à l’autre base restée finie,
est la hauteur du segment, c’est-à-dire sa plus grande ordonnée abaissée
normalement sur le plan qui le limite. Par conséquent, le volume dé
taché d’un paraboloïde elliptique par tout plan qui le coupe est égal
au produit de sa base par la moitié de sa hauteur.
On remarquera l’analogie de cet énoncé avec celui, presque aussi
simple, qui concerne l’aire d’un segment parabolique (p. xoo).
■
IHB
a*ain