QUADRATURE DES SURFACES COURBES : REDUCTION 
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pellerai y 0 la plus petite QP 0 , y x la plus grande QP t , et, respective 
ment, cp 0 (#), cpj (¿cr) leurs expressions. 
Cela posé, soit RR'T'T la bande de surface à évaluer, comprise 
Fig. 55. 
entre deux plans consécutifs normaux auxx, QP 0 RTP 1? Q'P' 0 R'T'Pj, 
ayant pour abscisses x et x + dx. Le système des plans perpendicu 
laires à O y la divisera en éléments d’une courbure insensible, comme 
MM'N'N, qui se projetteront sur le plan des.3?y suivant des rectangles, 
tels que mm'n'n, d’une largeur constante mm' = QQ'= dx, et d’une 
longueur, 77i7i, variable ou non, mesurant l’espacement dy de deux 
plans consécutifs de ce second système. On aura donc, si y désigne 
l’angle aigu de la normale à la surface, en M, avec l’axe des z, angle 
dont le cosinus a pour inverse \ji -h/P-r q 2 (t. I, p. 258), 
Aire m m’n! n = dx dy 
et Aire MM'N'N = 
dx dy 
cosy 
= \Ji -+- p i -^-q-dxdy. 
Ainsi se trouve exprimé un élément de bande, en fonction de dx, 
dy et des coordonnées x, y de son premier sommet M, qui est celui 
pour lequel ces coordonnées sont les moindres. Or, quand on consi 
dère successivement, pour en faire la somme, tous les éléments, comme 
MM'N'N, d’une même bande, les deux quantités x ■=. OQ et dx — QQ' 
sont invariables, tandis que y varie avec continuité, par accroissements 
dy, comme nui, uniformes ou non, depuisy 0 — QPo— ToO?) [ 0Ll plutôt 
depuis une valeur infiniment peu supérieure à celle-là, si 1 on ne veut