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l38 DES INTÉGRALES DOUBLES; ÉVALUATION 
seule, z-=f{x,y), donnée alors immédiatement, et qu’elle ne peut 
même recevoir des valeurs absolues quelconques (puisqu’elle dépasse 
nécessairement l’unité), il y a lieu de demander aux volumes, plutôt 
qu’aux surfaces, la représentation purement géométrique générale 
des intégrales doubles, de même qu’on a eu recours aux aires, et non 
aux arcs, pour avoir, en géométrie plane, une expression générale et 
purement géométrique des intégrales simples. 
Rappelons-nous donc la manière dont s’évalue un volume, en nous 
bornant d’ailleurs au cas d’axes rectangulaires, mais en indiquant ana 
lytiquement le détail des opérations, ce que nous n’avons pas encore 
fait. 
Soient AB le corps dont il s’agit d’exprimer le volume et A'B' son 
contour apparent sur le plan des xy. Admettons que, pour tous les 
points (x, y) intérieurs à ce contour, m par exemple, la surface ait 
seulement deux ordonnées ou valeurs de z, savoir la plus grande wM„ 
que nous appellerons z¡, et la plus petite mM 0 , que nous appelle 
rons s 0 . L’équation de la surface, résolue par rapport à z, les fera 
connaître en fonction de x et y : nous les représenterons par f Y {x, y) 
et par f 0 [x, y), c’est-à-dire que nous poserons 
(i) mM, ou z x mM 0 ou z 0 — f 0 (x, y). 
Admettons de même que l’équation en x el y du contour apparent 
Fig. 57. 
donne seulement, pour chaque valeur OQ =x de l’abscisse, deux or 
données y 0 — QP 0 , QPi, et désignons-les respectivement par