DES VOLUMES EN INTÉGRALE DOUBLE.
l3g
o 0 (-^)5 comme quand il s’agissait du contour apparent d’une
portion de surface courbe. Enfin, appelons ¿r 0 , x v la plus petite, O a,
et la plus grande, O (3, des abscisses à considérer, savoir, celles des
points A, B où le corps est touché par deux plans tangents a A'A,
îîB'B normaux aux ¿c, et des points A', B'de contact du contour appa
rent avec deux tangentes a A', ¡3B' parallèles à l’axe des y.
Cela posé, souvenons-nous que le volume s’obtient en divisant le
corps, par des plans normaux aux x, en tranches minces, dont l’une
quelconque, RSTT'R'S', a pour mesure le produit de son épaisseur,
espacement dx — QQ' de deux consécutifs de ces plans, par la section
RST — a que le premier d’entre eux, d’abscisse x, fait dans le corps;
et que l’aire a- elle-même s’évalue par un partage en bandes étroites,
opéré au moyen d’un second système de plans, normaux aux y ou
ayant leur équation de la forme y — const.
L’une quelconque de ces bandes, comprise, par exemple, entre les
deux plans KmM„ K'nN n que caractérisent les deux valeurs consé
cutives O K ~y et OK/ = j-i- dy de leur paramètre, est M 0 MiNiN 0
et égale le produit de sa longueur M 0 M t par sa largeur mn — KK' = dy.
La partie du produit <rdx, c’est-à-dire de la tranche RSTT'R'S', qui
lui correspond, sera donc, analytiquement,
MoMjNtNo X dx — Mq M i X mn x mm' = Mo Mi X dx dy,
et, géométriquement, le filet adjacent prismatique M 0 Nj compris
entre les deux éléments M 0 M' 0 N' 0 N 0 , M^ljNjNj de la surface, qui se
projettent sur le plan des xy suivant le rectangle mm!n'n — dxdy.
Effectivement, ce filet ne diffère du prisme droit compris entre les
quatre mêmes faces latérales avec M 0 M! pour hauteur, que par deux
tronçons, évidemment négligeables, enM 0 etMj, additifs ou soustrac
tifs; de sorte que l’élément cherché de volume est bien
Mo Mi x mm' n' n = M 0 M t x dxdy.
Or, comme
Mo Mi = m Mi — m Mo — Gi Zo —f\ {x, y ) f o (^j y )?
cet élément a pour expression
(2) (z 1 — z 0 )dxdy ou \fi(x,y)—f 0 {x,y)]dxdy:
l’élément M 0 MiNiN 0 ou M 0 M X X dy de la section <r égalerait
(^j — z 0 )dy, ou aurait en moins le facteur dx.
La tranche RSTT'R'S' égalera la somme de tous les filets pareils
compris entre les deux plans QMiPj, Q'MjPj, ou pour lesquels x et
J
HHB
