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REPRÉSENTATION DE TOUTE INTEGRALE DOUBLE PAR UN VOLUME. 
dx ont les valeurs constantes OQ, QQ', tandis que y y croît depuis 
QP 0 “Jo = ©oi^) jusqu’à QPj = y i - - es, (x). Son expression sera donc 
ou mieux 
en plaçant ainsi Je facteur dx avant le signe f, afin de n’avoir pas à 
entourer d’une parenthèse l’intégrale prise par rapport à y. Et l’on 
voit que cette valeur de la tranche est bien a dx, car on aurait évi- 
demmenl a = / {z x — z 0 )dy. Il viendra ensuite pour la somme des 
tranches du corps AB, c’est-à-dire pour le volume qu’il s’agit d’expri 
mer, l’intégrale double 
Le second membre se réduit à 
prend -s 0 = o et z-i~ f{x, y), c’est-à-dire quand il s’agit d’indiquer le 
volume qui, se projetant sur le plan des xy dans tout l’intérieur du 
contour donné A'B', est, de plus, compris depuis ce plan jusqu’à la 
surface dont l’ordonnée s égale une fonction quelconque assignée 
f{x,y) des deux autres coordonnées x, y. Le volume ainsi défini, et 
que l’on peut écrire, plus brièvement, fff{x, y)dxdy, constitue 
donc une représentation géométrique nette d’une intégrale double, 
pourvu que l’on y regarde comme négatives les parties situées, par 
rapport au plan des xy, du côté des z négatifs, ou composées de filets 
prismatiques z dx dy ayant pour hauteur une ordonnée z négative, et 
chargés, par conséquent, de figurer des éléments f{x, y)dxdy néga 
tifs eux-mêmes. 
304. — Des intégrales triples; exemples qu’en fournissent l’expression 
d’une masse et le calcul de la valeur moyenne d’une fonction de point 
dans une étendue à trois dimensions. 
Mais, pour revenir à notre exemple du volume d’un corps quel 
conque, les filets élémentaires (^ t —z 0 )dxdy, commeM 0 Nj (p. 138), 
sont-ils bien les véritables éléments de volume, c’est-à-dire des élé-