SIGNIFICATION ET USAGE DE CES INTEGRALES MULTIPLES. 1^5 
Des expressions, comme (5) et (6), ou le produit de trois diffé 
rentielles, dx, dy,dz, multiplié par une fonction F {x, y, z) des 
variables correspondantes, se trouve intégré successivement par 
rapport ci chacune de ces variables et entre des limites dépendant 
généralement des variables par rapport auxquelles on n'a pas en 
core intégré, s’appellent des intégrales triples. Le champ de l’inté 
grale, ou intervalle des limites dans lequel se meuvent les variables, 
est représenté, comme on voit, par un volume, et l’ensemble des li 
mites se trouve lui-même représenté par la surface entourant ce vo 
lume. 
305. — Des intégrales multiples en général et de leur utilité. 
On conçoit qu’il puisse y avoir, de même, des intégrales quadru 
ples, quintuples, etc., bref d’un ordre de multiplicité quelconque, 
suivant le nombre des différentielles de variables indépendantes, fac 
teurs infiniment petits, qui multiplieront, dans leur élément, une 
fonction donnée de ces variables et, par suite, suivant le nombre des 
intégrations à faire pour obtenir un total fini. Car chaque intégration, 
effectuée par rapport à l’une des variables et entre des limites ou 
constantes, ou dépendant des variables qui subsistent encore dans 
l’expression, aura pour effet d’éliminer du résultat cette variable avec 
sa différentielle. 
Par exemple, dans une question où il s’agira d’évaluer des rapports 
physiques, ou des actions d’une certaine nature, existant entre les 
diverses parties d’un corps et celles d’un autre corps, pour obtenir 
leur influence mutuelle totale (comme serait la pesanteur réciproque 
de chacun vers l’autre), chaque partie élémentaire dx dy dz de l’un 
d’eux, définie en position par ses coordonnées x, y, z, et chaque 
fragment analogue dlchyll de l’autre, caractérisé de même par ses 
coordonnées, que j’appellerai r¡, Ç, pourront avoir leur relation ou 
influence particulière exprimée par le produit de leurs masses, propor 
tionnelles à leurs volumes dans les situations qu’ils occupent, et d’une 
fonction de ces situations respectives (x,y,z), (ç, t¡, l). L’action 
élémentaire à considérer sera ainsi de la forme 
F(x,y, z, ç, T), Ç) dx dy dz d\ dr t d^\ 
et, par suite, la somme à obtenir constituera une intégrale sextuple 
ff fSSSF(#,y, z, ç, r n ‘Qdx dy dz d\ dr t dZ, 
dont les limites se détermineront d’après celles mêmes des deux corps. 
Un second exemple, où l’on est conduit à des intégrales quadruples, 
n. — il. Partie élémentaire. 
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