l5o CENTRES DE GRAVITÉ DES CORPS : LEUR DÉTERMINATION 
somme de n termes égaux à a. Il viendra aisément 
Xi = — X(a -+- ax -+- by -+- c.z), c’est-à-dire Xi= — 
n n 
d’après la seconde (16). Et l’on trouverait de même Yj~ ~ Sjq, 
Z 1 =- 1 -S; 1 . Donc, ce n’est pas seulement par rapport au premier 
système d’axes que le point G a pour coordonnées les valeurs moyennes 
des coordonnées de même nom des diverses masses élémentaires m, 
mais bien avec tout système d’axes rectilignes. 
Si l’on suppose continue la matière M du corps et que, par suite, 
ses éléments ni soient non pas de simples points, mais des particules 
î/M remplissant des espaces infiniment petits en tous sens, les sommes 
Zinx, Zmy, Zmz, dont dépendent les expressions ^ 2m(x, y, z) 
de X, Y, Z, constitueront des intégrales définies, évaluables par une 
division arbitraire du corps en volumes élémentaires, au moyen, par 
exemple, des trois systèmes de plans x~ const., y — const., 
-g = const., ou de trois autres familles quelconques de surfaces. On 
le reconnaît en raisonnant comme il a été déjà fait(p. 143) pour l’éva 
luation de la masse d’un corps dont on donne la densité à chaque 
endroit, c’est-à-dire en observant que, dans tous les modes possibles 
de division, les mêmes masses élémentaires, considérées comme pro 
duits des éléments de volume, ou de leurs fragments, par la densité 
en un de leurs points ou auprès, se retrouveront toutes, abstraction 
faite d’écarts relatifs infiniment petits, et seront d’ailleurs multipliées, 
dans hmx, Zmy, I.mz, par des coordonnées x, y ou z également 
incapables de varier, pour chaque fragment, dans un rapport tant soit 
peu sensible. 
Ainsi, de quelque manière que se fasse la division de la matière M 
en éléments de dimensions infiniment petites, dont ¿/M désignera la 
masse approchée, produit de l’étendue qu’occupera chacun par la 
densité en un de ses points, ori aura, pour calculer les coordonnées 
X, Y, Z du centre de gravité, les trois formules 
(.7) Y-LfyM, Z= Sf f,y M ’ 
où le signe f, affecté à sa partie inférieure de l’indice M, indique des 
intégrations à faire dans toute l’étendue qu’occupe la masse M, et où 
les facteurs x,y, z de t/M, sous ce signe f, désignent les coordonnées 
d un point pris à volonté sur l’élément quelconque de cette étendue