MMMHMiMMMKÜÎ 
154 EMPL. DES CENT. DE GRAY. DANS LE CALCUL DES SURF. ET SOL. DE RÉVOL. : 
par définition, la valeur moyenne, - / xds, de x sur tout le con 
s - s 
tour s, et l’expression (tangcp) 1 xds pourra être remplacée par 
'J S 
s x OG.tangcp ~sx GH. Si donc on appelle h' la hauteur du tronc 
mesurée au-dessus du centre de gravité du contour de la base, il vien 
dra, pour la valeur de la surface latérale, sh'. 
En résumé, le volume et la surface latérale du tronc de prisme 
droit s’obtiennent en multipliant respectivement ou sa base, ou le 
contour de sa base, par la hauteur correspondante du tronc, me 
surée perpendiculairement au-dessus du centre de gravité soit de 
cette base, soit de ce contour. 
311. — Théorèmes de Guldin ou de Pappus. 
Imaginons actuellement que l’angle cp des deux bases devienne infi 
niment petit. Alors les ordonnées z, telles que mM, ne présenteront 
que des différences et des écarts infiniment petits du second ordre 
d’avec les chemins que décriraient les divers points de la figure acb, 
si on la faisait tourner de l’angle cp autour de 0/ pour l’amener dans 
le plan ACB; car l’ordonnée mM, située dans le plan mQM de l’arc 
de cercle, perpendiculaire à O y, qu’un pareil mouvement ferait par 
courir au point m, et d’ailleurs normale au rayon Qm de cet arc, 
est tangente à ce dernier, dont l’extrémité, sur le plan ACB, ne se 
trouve, par suite, qu’à une distance de M infiniment petite du se 
cond ordre. Il résulte évidemment de là que le volume ou l’aire engen 
drés par chaque élément de la surface acb ou de son contour ne 
pourront pas différer, d’une manière appréciable, du volume et de la 
surface ayant ces éléments comme base dans le tronc de prisme, et 
que, par suite, le volume total et l’aire totale décrits seront égale 
ment les produits respectifs de la surface acb, ou de son contour, par 
le chemin infiniment petit, sensiblement égal, dans chaque cas, à GH, 
qu’aura parcouru le centre de gravité de cette surface ou de ce con 
tour. 
Et si, après cette rotation infiniment petite de la figure acb, il en 
survient une seconde, soit autour du même axe Oy, soit autour d’un 
autre axe situé dans le plan ACB de sa nouvelle position, l’aire et le 
volume décrits pendant ce second mouvement égaleront encore les 
produits respectifs des multiplicandes employés déjà, contour ou sur 
face, par le nouveau chemin qu’aura parcouru le centre de gravité 
considéré. En continuant de même pour une infinité de rotations suc