l6o DIFFÉRENTIATION D’UNE INTÉGRALE A CHAMP VARIABLE.
l’élément gagné sera f{b, c)db, l’élément perdu, /{a, c) da, et l’excé-
p ^ d fi x c )
dent de l’un sur l’autre, à joindre à l’accroissement (c/c) j J ^ ’ ■ dx
calculé dans l’hypothèse de limites invariables, donnera, en somme,
comme différentielle totale de l’intégrale définie,
(i) dJ" f{x,c)dx=/{h,c)db—f(a,c)da-{-dc J* * dx.
b+db
On le voit encore en faisant, dans / /(¿O c -+- de) dx, varier x,
a+d a
d’abord, de la limite inférieure a -h da à a, puis de a à b et, enfin,
de b à la limite supérieure b + db. Cette intégrale se trouve être
ainsi la somme de trois autres, dont la première, f /{&, c~[-dc)dx,
a+da
peut évidemment être remplacée par / f(a,c)dx=z—f\a,c)da,
d a+da
dont la seconde, / f{x,c~\-dc)dx, dépasse l’intégrale primitive
a
J' f{x,c) dx, de C ^ dc^j dx — de J C ' > dx, et dont,
, b+db
enfin, la troisième, 1 f{x,c- J r dc)dx, analogue à la première,
db
j s* b-\-db
f{b,c)dx=/{b,c)db. Par suite, l’excédent
b
d j f{x,c)dx, sur / f{x,c)dx, delà somme de ces trois inté-
a a
grales, conduit bien à la formule (i).
Les deux termes du second membre de (i) relatifs aux limites,
savoir J\b, c) db et — /‘(a, c) da, peuvent d'ailleurs, en adoptant une
notation qui nous est familière pour désigner la différence des
deux valeurs d’une expression à deux limites, s’écrire ensemble
[/(¿c, c)dx^ffzff a , ou même, sous une forme plus condensée, [y (a?, c)c/cc]f t .
Ainsi, la formule (x) sera encore
(2)
1 J ZO,c)
dx = \f{x, c) dx^-r- de
j:
df{x. c)
de
dx.
Imaginons que a et b, de même que tous les paramètres pouvant
figurer dans f{x,c), dépendent de c : nous obtiendrons la dérivée
complète de l’intégrale en divisant par de chaque terme du second
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