INTÉGRATION SOUS LE SIGNE /.
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Il viendra donc
o
C'i-hl
(8) (pour n > o)
dx
1 3 5
2 4 6
2 Tl
319*. — Des difficultés que présente la différentiation de certaines
intégrales définies.
(Compléments, p. ni*.)
320. Intégration sous le signe f: application au calcul
M ais passons aux procédés qui permettent d’obtenir immédiate
ment certaines intégrales définies dans des cas où l’intégrale indéfinie
correspondante n’est pas calculable sous forme finie. Les deux plus
importants se rattachent à la théorie des intégrales doubles.
Je parlerai d’abord de celui qu’on a appelé intégration sous le
signe f. Il est basé sur la propriété qu’ont les intégrales multiples à
limites constantes de conserver leur valeur quand on y intervertit
l’ordre des intégrations, pourvu du moins qu’une certaine vue directe
de l’ensemble des éléments, supposée dans la démonstration (p. 147),
soit possible : circonstance exigeant un champ d’intégration bien dé
terminé et une fonction sous le signe f finie dans toute l’étendue de
ce champ. On y considère, ordinairement, une intégrale double où
les intégrations peuvent se faire complètement quand on les effectue
dans un certain ordre, tandis qu’une seule de;s deux aboutit lorsqu’on
change cet ordre. Il vient ainsi deux expressions égales, dont l’une
est une intégrale définie simple, tandis que l’autre est sa valeur sous
forme finie.
Prenons, par exemple, comme point de départ, l’intégrale, évaluée
plus haut (p. 68) et où a désigne une quantité positive quelconque,
X
e~ ax coshx dx = — (pour a >0).
Le champ en sera bien circonscrit, conformément à l’hypothèse
énoncée, si nous y supposons mentalement la limite supérieure 00
remplacée, jusqu’à la fin des calculs, par une très grande quantité
fixe, suffisante pour que le second membre de (i4) exprime Tinté-