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INTÉGRALES DOUBLES QUI SONT DES PRODUITS o’iNTÉGR. SIMPLES. tÔ5
322. — Intégration par décomposition d’une intégrale double
en produits d’intégrales simples.
Le second procédé de calcul de certaines intégrales simples au
moyen d’intégrales doubles consiste à décomposer une intégrale
double, dont on puisse connaître d’autre part la valeur, en facteurs
qui soient des intégrales simples, ou en plusieurs termes formés,
chacun, de pareils facteurs. On obtient ainsi, entre ces facteurs, des
relations finies, qui servent à les évaluer.
Considérons, par exemple, une intégrale double, de la forme
/-* VL
/ dx I ®{x)'\ l {y) dy, c’est-à-dire dont les limites soient constantes
’J a m
et où la fonction sous les signes f égale le produit de deux facteurs
ne contenant, chacun, qu’une seule des deux variables x, y. Le fac
teur v{x) sera invariable pendant l’intégration relative ky, qui don-
nera comme
J /-» /t IL
' <h{y)dy. Par suite, / 'Hy)dy étant
in m
désormais et à son tour, dans ce résultat, un certain facteur constant,
on pourra, en intégrant par rapport à x, le faire sortir du signe / ;
n.
et l’on aura finalement
Í18 i
o pj—n r r b ~\ T r n
f / o{x)'li(y) dx dy — f o{x)dx I ô{y)dy
J x—a J v—in ^ a L ''m
Si donc on parvient, par une voie quelconque, à calculer l’intégrale
double, la formule (18) sera une relation de forme finie entre les deux
intégrales simples / o{x)dx, / ty{y)dy\ et elle pourra servir à
^ a ^ rn
les déterminer.
Mais il faut, pour cela, transformer l’intégrale double au moyen
d’un changement de variables; car, tant qu’on y laissera paraîtrez
et y, ou tant que les intégrations devront se faire par rapport k x et
à y, elles porteront inévitablement, comme le montre (r8), sur les
différentielles o{x)dx et <p(y)dy; ce qu’il s’agit précisément d’éviter.
Voyons donc, sur quelques exemples, comment s’effectueront de telles
transformations.
323. — Premier exemple ; intégrale de Poisson.
Le plus simple et le plus usuel de ces exemples est relatif a 1 inté-