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166 INTÉGRALES SIMPLES CALCULÉES AU MOYEN D’INTÉGRALES DOUBLES : 
grale, dite de Poisson ( l ), I e~ x 'dx, évidemment positive comme 
tous ses éléments, et rendue bien déterminée par le décroissement de 
la fonction e~ x % infiniment plus accusé, quand æ grandit beaucoup, 
que celui de l’inverse d’une puissance quelconque, même très élevée, 
de x" 1 . 
Écrivons cette intégrale, en y introduisant une autre variable y 
au lieu de x, f e~*'dy\ puis, formons-en le carré, par la multipli- 
cation de f e~ xî dx et de f e^'dy, après avoir, pour fixer les 
Jq t/y 
idées, remplacé provisoirement par un nombre très grand K les li 
mites supérieures infinies. Ce carré sera très sensiblement, d’après 
(18), l’intégrale double, à champ bien circonscrit. 
[ ( e ' r ' [ e ^ d y ) dx - 
Pour en faciliter, comme on verra, la transformation, supprimons 
tous les éléments compris de x — o à x — une très petite quantité e, 
éléments ayant en tout une somme Ç Ç e ~ y ° dy J dx de 
l’ordre de e I ed dy, c’est-à-dire insignifiante; et, de plus, rem- 
plaçons-y K, au haut du signe f entre parenthèses, par la limite su- 
k/ ^ Rf ^ \ 
périeure plus grande K — , ou écrivons-la j ye - -*' j e~d dyj dx, 
nouveaux 
ce qui revient à introduire dans le facteur f e~ddy de 
do 
JC 
éléments, d’une somme totale f dy négligeable. L’intégrale 
dK 
J S* K /-» R 
f dx f c e~ {xî+ d)dy, prenons-y, comme 
£ ^0 
nouvelle variable u de l’intégration en y pendant laquelle x (compris 
entres et K) ne change pas, le rapport croissant de zéro à — pen- 
(’) A cause d'une démonstration élégante qu’en a donnée ce géomètre ( pp. noi*, 
ica* et rai*); mais le calcul en avait été fait antérieurement par Laplace et même 
par Euler.